모스 이론 애호가를위한 다음 단계는?
이 질문이 MO에 정말 적합한지는 모르겠지만 여기에 있습니다. 저는 모스 이론을 아주 좋아하고 제가 더 나아가 어떤 방향으로 들어갈 수 있는지 알고 싶습니다.하지만 완전한 비전문가로서 저는보기에 문제가 있습니다. 앞으로 이러한 방향과 내가 읽어야 할 곳을 식별합니다. 아래에서 내 배경과 특정 관심사를 언급 한 다음 내가 듣거나 궁금한 점을 언급합니다. 내 레벨에 적합한 참고 자료, 또는 역사적 또는 최근의 모스 궤적에 대한 스케치에 감사드립니다.
나는 Milnor의 Morse Theory and Lectures on the H-cobordism Theorem 을 읽었습니다 (후자는 학부 논문의 주제였습니다). 나는 또한 모스 상동성에 대해 조금 읽었습니다. 문제는 모스 이론에 대한 나의 지식이 상세한 지식뿐만 아니라 주제와 궤도 측면에서도 끝나는 것입니다. 따라서 다음에 어디를 볼지 알기가 어렵습니다. 나의 주요 관심사는 (현재) 차동 토폴로지와 상징적 인 것들에 있습니다. 이 질문에 합리적인 범위를 제공하기 위해 다음과 같은 몇 가지 제한 사항이 있습니다.
- 이 질문은 모스 이론을 다른 것에 적용하는 것이 아니라 "모스 이론"(일부 넓은 의미에서)의 주제에 관한 것입니다. 나는 이것들에도 확실히 관심이 있지만 그 목록은 끝이 없을 것입니다. 특히 토릭 호기심을 다른 질문으로 옮기고 있습니다.
- 나는 이산 또는 계층화 된 모스 이론과는 달리 주로 다양한 -y에 관심이 있습니다.
- 유한 차원으로 제한하는 것은이 맥락에서 완벽하게 괜찮습니다. 나는 Hilbert / Banach 매니 폴드 등이 논의되어야한다는 것을 알고 있지만 그것에 대해 아무것도 모릅니다. 아마도 내가 Floer 이론을 완전히 무법화할 수는 없지만, 결국 그것에 대해 배울 계획이지만 현재의 범위를 벗어난 것 같다고 말할 것입니다.
내가 궁금했던 몇 가지 구체적인 사항은 다음과 같습니다.
Cohomology 제품 : Morse-Smale 쌍의 경우 컵 제품 (또는 Poincaré 듀얼)이 불안정한 매니 폴드의 교차 번호로 계산 될 수 있다고 생각합니다.하지만 이에 대한 설명은 자세히 읽지 않았습니다. Schwarz의 Morse Homology (내가 읽지 않은) 의 끝 부분 에서 그는 컵 제품을 일반적인 단일 cohomology 구성과 유사한 스타일로 정의합니다. 아마도 가장 흥미로운 것은 Fukaya의 "Morse Homotopy,$A^\infty\!$-Category, and Floer homologies. "아직 읽지 않았지만 가까운 장래에 그렇게 할 수 있기를 바랍니다. Morse cohomology의 컵 제품에 대해 내가 놓친 다른 주요 견해가 있습니까?
CW 구조식 : 에 모스 이론, Milnor 실제 CW 구조를 얻기 위해 그들 주위를 슬라이딩 한 후 세포를 첨가하여 매니 폴드를 설명 (즉, 셀은 셀 차원을 낮출 첨부). 이것은 유용하지만 빠르게 매니 폴드를 뒤로하고 호모 토핑 부착 맵에 대한 질문이됩니다. 불안정한 / 안정적인 매니 폴드는 핸들 분해에 대한 중요한 세부 정보 레이어를 추가하지만 Morse-Smale 쌍을 사용하더라도 "연결"맵은 악명 높은 연속성에 실패합니다. 이 문제를 해결하는 것은 까다로운 질문으로 보이며 답이 어디에 있는지 잘 모르겠습니다. 내가 올바르게 이해한다면, 이것은 유동선의 계수 공간을 압축하는 것과 관련이 있으므로 아마도 Schwarz의 책이나 Hutchings의 노트에서 답을 찾을 수 있습니까? ( 이 MO 질문 에 대한 의견 이 있지만Hutchings의 주장이 잘못 언급되었다고 주장합니다.) Cohen-Jones-Segal이 "모스 이론 및 공간 분류"에서 찾고 있던 것과 관련된 진정한 CW 구조입니까? (다시 말하지만 나는 읽지 않았지만 흥미롭고 희망적입니다.)
유한 볼륨 흐름 : 내가 흥미를 끌었지만 읽지 않은 또 다른 논문은 Harvey와 Lawson의 "유한 볼륨 흐름과 모스 이론"입니다. 앞서 언급 한 불연속성 문제를 우회하고 그 과정에서 모스 이론의 완전히 새로운 도식을 만드는 아름다운 방법처럼 보입니다. 그러나 그것을 읽는 것은 아마도 해류에 대해 먼저 배우는 것을 포함 할 것입니다… 그것은 그 자체로 매우 우아해 보이지만,이 이론이 어디로 가고 있는지, 그리고 필요한 배경을 배우는 동기로 무엇을하고 있는지 아는 것은 흥미로울 것입니다.
서프 이론 : 저는 서프 이론에 대해 조금 들어 봤지만 실제로 그에 대한 참조를 찾을 수 없습니다 (프랑스어를하지 않기 때문에 영어로). 다른 핸들 분해 사이의 관계를 이해하는 방법으로 추구하는 것은 매우 자연스러운 것 같습니다. 아마도 Cerf의 논문의 난이도와 길이 때문에 인기가 없을까요? 또는 나중에이 MO 질문 에서 언급했듯이 Hatcher, Igusa 및 Klein (그리고 아마도 다른 사람들이이 영역에 대해 아무것도 모르는)의 프레임 기능 작업에 포함 되었기 때문 입니까? 나는 이것에 대해 적절한 질문을 할만큼 충분히 알지 못하지만, 더 많은 것을 배우는 방법에 대한 어떤 제안도 사랑하고 싶습니다.
기타 : 모스 이론 애호가에게 제안 할 다른 주요 방향이 있습니까?
답변
모스 이론을 실질적으로 사용하는 최근의 획기적인 결과 는 차원 4에서 Smale 추측에 대한 Watanabe의 반증입니다 . 여기에서 그는 모스 함수의 기울기에 대한 특정 끊어진 흐름 선을 계산하여 Kontsevich의 구성 공간 적분을 계산하는 방법을 제공합니다. 이러한 모스 이론 불변은 사소한 특정 4 차원 디스크 번들이 사소한 번들이 아님을 증명하는 데 사용됩니다. 이러한 유형의 불변의 특성을 개발하고 다른 다양체의 이형성 그룹의 사소하지 않은 동형 그룹을 감지하는 데 사용하는 데 여전히 할 일이 많습니다.
다음 단계:
(0) (상대 모스 이론) Geoffrey Mess의 논문 "Torelli group of genus two and three surface"는 Siegel 상반부 공간에서 Abel-Jacobi 기간 궤적의 일부 상대적 모스 이론을 연구하여 Torelli 그룹 (속 2)을 추론합니다. )는 셀 수없이 많은 발전기에 대한 무료 그룹입니다. 나는 그의 증거가 매우 흥미 롭다고 생각하고 더 많이 배우려고 노력했지만 거의 프로그 레스를 만들지 못했다 ...
(1) (거의 복잡한 구조) 만약 당신이 symplectic topology에 관심이 있다면 Eliashberg-Cielebak의 교과서 "From Stein to Weinstein and back : Symplectic Geometry of Affine Complex Manifolds"는 모스 이론을 매우 흥미롭게 다룹니다. -복잡한 구조 $J$ symplectic manifolds에 $(M, \omega)$. 나는이 교과서가 Milnor의 텍스트를 가린다 고 생각합니다. 매우 기본적인 증거를 포함합니다.$2n$-차원 복합 매니 폴드는 $n$-차원 CW- 복잡함 ". (실제로 불안정한 매니 폴드 $W^+$ 퇴화되지 않는 symplectic 형태에 대해 완전히 라그랑주입니다. $\omega=\omega_f$, 따라서 최대 $n$-차원). 여기$f$ 모든 것을 제한하는 진정한 가치의 모스 함수입니다. $J$-불변 2면은 저조 파입니다.
(2) 기울기가 극으로 흐릅니다 (전위 함수가 $f$ 그리고 그 그라디언트 $\nabla f$ 분기하다 $\pm \infty$)는 0으로가는 기존의 기울기 흐름보다 토폴로지에 더 많은 응용 프로그램을 가지고있는 것으로 보입니다. 특히 강한 변형을 시도 할 때 비 압축 소스를 후퇴$X$더 낮은 차원의 조밀 한 척추로. 0에 그라디언트 흐름을 적용하려면 변형 매개 변수에 대한 Lipschitz 연속성-무한 조건이 필요합니다. 여기서 Lowasiejiwicz 부등식은 일반적으로 재 매개 변수화 된 기울기 흐름의 연속성을 증명하는 데 결정적인 역할을합니다. "0으로의 기울기 흐름"의 가장 큰 문제는 기울기 흐름이 목표에 접근함에 따라 속도가 느려진다는 것입니다. 대수 토폴로지에 대한 최적의 전송을 적용 할 때, 기울기가 유한 시간 폭발을 즐기고 Lowasiejiwcz에 호소하지 않고 다시 매개 변수화 된 흐름의 연속성이 즉각적이기 때문에 극점으로의 기울기 흐름이 훨씬 더 편리하다는 것을 알게되었습니다. 기본적으로 "0으로의 기울기 흐름"은 연착륙이고 "극으로의 기울기 흐름"은 목표물로 가속됩니다.
좀 더 구체적으로 말하면 "극으로의 기울기 흐름"이 중요한 다음 단계라고 제안합니다. 그리고 이것은 다음에 설명하는 것처럼 최적의 운송에서 정기적으로 발생합니다.
(3) (최적 수송) 모스 이론은 최적 수송에서 새로운 형태를 취하고, 여기서 모스 이론은 $c$-최적의 운송 계획.
소스 확률 공간 고려 $(X, \sigma)$, 표적 $(Y, \tau)$및 비용 $c: X\times Y \to \mathbb{R}$. Kantorovich 이중성은$c$-최적의 운송 $\sigma$ ...에 $\tau$ 통하다 $c$-볼록한 잠재력 $\phi=\phi^{cc}$ 의 위에 $X$ 와 $c$-변환 $\psi=\phi^c$ 의 위에 $Y$. Kantorovich는 말한다$c$-최적의 운송 계획 $\pi$ 그래프에서 지원됩니다. $c$-미차 $\partial^c \phi$, 또는 동등하게 그래프에 $\partial^c \psi$.
하위 차동은 $$-\phi(x)+\psi(y)\leq c(x,y).$$ 에 대한 평등의 경우 차별화 $x$ 과 $y$ 평등을 낳는다 $$-\nabla_x \phi(x)=\nabla_x c(x,y)$$ 과 $$\nabla_y \psi(y)=\nabla_y c(x,y).$$ (RJMcCann은 이러한 평등이 일반적인 가설 아래 거의 모든 곳에서 $c$). 예를 들어 (Twist) 조건 : If$Y\to T_x X$ 정의 $y\mapsto \nabla_x c(x,y)$ 모든 사람에게 주입 $x\in X$, 다음 $$y=T(x):=\nabla_x c(x, \cdot)^{-1}(\nabla_x \phi(x))$$ 정의 $c$-최적의 Borel 측정 가능한지도 $\sigma$ ...에 $\tau:=T\#\sigma$.
또한 섬유 $T^{-1}(y)$ 세트로 특성화 될 수 있습니다 $x$ 만족스러운 $\nabla_y\psi(y)=\nabla_y c(x,y)$ 또는 $$\nabla_y [c(x,y)-\psi(y)]=0.$$ 그러나 $c$-Legendre Fenchel 불평등 두 번째로 우리는 잠재력의 글로벌 최소값을 독점적으로 연구하고 있습니다. $y\mapsto c(x,y)-\psi(y)$, 모든 $x\in X$.
일반적인 암시 적 함수 정리를 사용하여 $T^{-1}(y)$ 부드러운 하위 다양체 $X$ 만약 $D_x(\nabla_y c(x,y))$ 모든 것에 대해 퇴화되지 않습니다 $x\in T^{-1}(y)$. 대상$(Y, \tau)$ 1 차원, 이것은 함수가 필요합니다 $x\mapsto \nabla_y c(x,y)$ 모든 사람에게 중요한 포인트가 $y\in Y$, 및 $x\in T^{-1}(y)$.
대부분의 소스 매니 폴드에서 $(X, \sigma)$중요한 포인트의 존재 여부를 확인하는 것은 어렵습니다. 만약$X$ 작고 $c$연속적으로 유한 한 가치를 지닌다면, 모스 이론 (초등학교 미적분)은 그것을 금지합니다. 하지만 우리는 행복하게 비용을 연구합니다$c$극과 경우 극이 유일한 중요한 값은$c$! 예를 들어, (Twist) 가설은 두 점의 교차 차이가$$c_\Delta(x;y,y'):=c(x,y)-c(x,y')$$ 모두에게 중요한 포인트 프리 기능입니다. $y,y'$,$y\neq y'$ 과 $x$도메인에. 이것은 극이 허용되지 않는 한 조밀 한 공간에서 만족할 수 없습니다.
(3.1) (표준 모스 / 비용 함수?) 우리는 일반 과 표준을 구별 할 필요가 있습니다. 제 경험상 Wolfram MATHEMATICA에서 작성, 탐색 또는 구현하기가 매우 어려운 일반 함수를 발견했습니다 . 모스 함수는 일반적인 것으로 알려져 있습니다 (Sard, Thom 등의 의미에서). 그러나 개인적으로 나는 표준 모스 함수를 선호 합니다. 또는 대중 교통 관점에서 표준 비용 $c$ 누구의 파생물 $\nabla c$ 모스 형식의 함수에 적합합니다.
예를 들어 닫힌 표면에서 최적의 운송을 연구하려는 경우 $\Sigma$ 실제 라인에 $Y=\mathbb{R}$ (또는 원을 그리거나 그래프로) 적절한 비용을 찾습니다. $c: \Sigma \times Y \to \mathbb{R}$ 위의 조건을 충족하는 것, 예를 들어 $\frac{\partial c}{ \partial y}(x ,y)$ 중요한 지점이 없다 $x\in \Sigma$ 매번 $y\in \mathbb{R}$. 이것은 모스 이론에 의해 금지됩니다.$\Sigma$ 작고 $c$유한합니다. (응용 프로그램에서는$c$ 가지다 $+\infty$극. 그때$\partial c/\partial y$ 도메인에서 중요한 지점이 없을 수 있습니다.)
그러나 표준 비용은 무엇입니까 $c: \Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 흥미로운 기하학적 전송을 나타냅니다. $\Sigma$ ...에 $\mathbb{R}$? 여기 소스 및 대상 공간$\Sigma$, $Y=\mathbb{R}$ 선험적으로 상호 작용이 없으며, 우리가 가정하지 않는 한 공통 배경 공간에 포함되지도 않습니다. $Y\subset X$.
모스 이론의 틀에서 컵 제품의 경우, Kenji Fukaya는 그의 Morse homotopy와 그 양자화 의 섹션 1에서 공부했다고 생각 합니다. 실제로 컵 제품을 정의하려면 하나가 아니라 세 개의 모스 함수가 필요합니다.
Symplectic 기하학에서 Floer 상동 성은 경로 공간에서 기능하는 동작에 대한 모스 이론의 무한 차원 유사체로 볼 수 있습니다. 자세한 소개는 Morse Theory and Floer Homology 책을 참조하십시오 .