$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ 모든 $n.$

Question

허락하다 $(X,S,\mu)$ 측정 공간, 그리고하자, $(A_n), (B_n)$ S. If $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ 모든 n 증명에 대해 다음은 $\mu-$널 세트 ($\mu(E)=0$ ...에 대한 $E\in$에스):

나는) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.

ii) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.

iii) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.

iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.

(i) 증명합니다 $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, 때문에 $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ 과 $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ 연결되지 않은 경우 $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ 모두 n이지만 $\mu$ 부정이 아니라면 $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.

(ii) 나는 그것을 사용했습니다 $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ 그때 $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.

그러나 (iii) 및 (iv)에 대해서는 잘 모르겠습니다.

Answer 1

일반적인 정체성이 필요합니다.

허락하다 $K$인덱스 세트. 그때:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ 첫 번째 정체성 : If $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ 그러나 $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, 다음 $a\in X_{k_0}$ 과 $a\notin Y_{k_0}$, 그래서 $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, 일부 $k_0\in K$. 다른 경우도 비슷합니다.

두 번째 : 집합 차이의 정의.

셋째 : 첫 번째와 두 번째 및 De-Morgan 적용

(i) 및 (ii) 답은 위의 ID의 간단한 응용 프로그램 + $\sigma$-측정의 하위 가산 성.

(iii) : 설정 $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ 과 $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. 그때$X_n \triangle Y_n$ null 집합 : null 집합의 합집합으로 처리됩니다. $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, 첫 번째 신원으로.

자, 관계 $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ 유사하게 암시 $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.

그만큼 $\underline{\lim}$ 케이스는 거의 동일합니다.