무한 합의 유한 합은 유한 합의 무한 합인가?

Nov 18 2020

유한 시퀀스가있는 경우 $N$ 기능 $f_n\colon\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ 및 일련의 복소수 $z_k$, 사실이어야합니다.

$$\sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^\infty f_n(z_k) = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^N f_n(z_k)?$$

비슷한 질문이 Summation Symbol : Changing the Order 에서 다루어지는 것처럼 보이지만 ,이 질문은 두 합이 유한하거나 둘 다 무한한 경우에만 다루며 유한 시퀀스를 고려할 때 발생하는 일을 다루지 않는 것 같습니다. 기능.

이 질문에 대한 동기

이 형식의 동등성은 Dirichlet 's Theorem on Arithmetic Progressions의 증명에서 Lemma 5.4를 증명하는 데 사용되는 것 같습니다. http://people.csail.mit.edu/kuat/courses/dirichlet.pdf,하지만 신원의 사용이 명시 적이 지 않으므로이 권리를 이해하고 있는지 확실하지 않습니다. 위의 공식이 항상 유효하다면 기본형의 증명을 이해할 수 있다고 생각하지만 그것이 유효한 가정인지 아닌지는 모르겠습니다.

어떤 도움이라도 대단히 감사합니다!

답변

4 Masacroso Nov 18 2020 at 06:32

어떠한 가정도없이 진술은 일반적으로 유지되지 않습니다. 허락하다$a_n=1$$b_n=-1$ 모든 $n\in \mathbb{N}$, 그러면 우리는 $\sum_{n\geqslant 1}(a_n+b_n)=\sum_{n\geqslant 1}0 =0$ 그러나 $\sum_{n\geqslant 1}1=\infty $$\sum_{n\geqslant 1}(-1)=-\infty $따라서 합계 $\sum_{n\geqslant 1}a_n+\sum_{n\geqslant 1}b_n$ 존재하지 않습니다.