무한대 카테고리는 정말 무엇입니까?
무한대 카테고리가 인코딩하는 정보가 정확히 무엇인지에 관심이 있습니다. 예를 들어 공간의 무한 범주를 고려하십시오. 나는 이것을 우리가 동질성 한계 등을 계산할 수있게 해주는 단순화 된 집합 모델에서 비롯된 몇 가지 추가 구조를 갖춘 공간의 동형 범주로 생각하고 싶습니다. 내 (모호한) 질문은 다음과 같습니다.
- 이 구조는 얼마나 독특합니까? 다른 말로하면, 동질성 범주가 주어지면 표준 관련 무한 범주가 있습니까?
- 이와 관련하여, 무한대 범주는 본질적으로 동종이 아닌 정보 (동종 주제 범주에서 얻을 수없는 정보)를 인코딩합니까? 그렇다면 무엇입니까?
답변
(적어도 저에게는) 직관적으로 추론하기가 훨씬 더 쉽지만 여전히 메시지의 일부를 전달하는 질문의 훨씬 낮은 차원의 유사점을 고려하는 것이 유용하다고 생각합니다.
비교하자 $0$-범주 (즉, 세트) 및 $1$-인코딩 할 수있는 항목에 기반한 카테고리 (예 : 카테고리)
- ㅏ $0$-카테고리는 객체의 클래스 일뿐입니다. 두 개체는$(0,1)$-category는 동일 하다면 정확하게 동일합니다 (이것은$0$-등가의 범주 절단), 객체에 대해 더 이상 말할 수 없습니다.
- ㅏ $1$-카테고리는 $0$-범주 (약하게) 풍부 $(0,0)$-범주 (즉, 세트) : 한 객체가 다른 객체와 어떻게 관련되는지에 대해 더 섬세하게 표현할 수 있습니다. 특히 모피 즘을 통해 물체 의 구조 를 설명 할 수 있습니다.$1$따라서 카테고리 언어는 구조와 관련된 객체의 속성을 다룹니다. 보다 정확하게는$1$-카테고리는 동형 (즉, 동일한 구조를 가짐) 인 경우 정확히 동일합니다.$1$-범주 적 구성 (예 : co / limits)은 동형까지 정의됩니다.
주어진 $1$-범주 $\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, 우리는 동형을 정의 할 수 있습니다$0$-범주 $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$ 로 $0$-객체가 객체의 동형 클래스 인 범주 $\cC$. 이것은 효과적인 프리젠 테이션 역할을합니다.$\cC$ 와 함께 $0$-대상의 의미에서 카테고리 $\cC$ 해당 객체가 $\Ho\cC$ 같다.
그러나 우리는 또한 이것이 몇 가지 동등하지 않은 것처럼 역 엔지니어링하기 어렵다는 것을 알 수 있습니다. $1$-카테고리는 동일한 동형을 가질 수 있습니다. $0$-범주. 이를 확인하는 가장 빠른 방법은$0$-범주 $X$ 로 생각할 수 있습니다 $1$-아이덴티티 형태 만있는 카테고리,이 경우 $\Ho X=X$; 특히, 주어진$1$-범주 $\cC$, 동형 $0$-범주 $\Ho\cC$ 또한 $0$-범주 $X := \Ho\cC$ 로 간주 $1$-카테고리 . 어느 것$\cC$ 과 $X$ "표준"의 더 적합한 선택이 될 것입니다. $1$-category "관련 $\Ho\cC$?
또한 의견에서 언급했듯이 수행하는 것이 거의 불가능합니다. $1$-homotopy의 카테고리 구조 $0$-카테고리 : 유일한 다이어그램 $F:J\to\Ho\cC$한계가있는 것은 상수 다이어그램입니다. 사실 펑터의 한계를 계산하더라도$F:J\to\cC$ 다이어그램의 모든 객체가 서로 동형 인 경우 (즉, 유도 된 맵 $F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ 상수 맵) 동형의 한계가 $0$-카테고리 존재, 한계 $\Ho\cC$ 한계와 전혀 관련이 없습니다. $\cC$. 예를 들어, 데카르트 곱$X\times X$ 일반적으로 동형이 아닙니다. $X$,하지만 해당지도의 제한 $\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$ (상수 맵)은 항상 다음의 isomorphism 클래스입니다. $X$.
이야기는 비슷합니다. $(\infty,1)$-카테고리. 공간이 약하게 풍부한 범주로 생각할 수 있기 때문에$\infty$-groupoids), 우리는 물체를 비교하는 방법에 대해 더 섬세 할 수 있습니다. 범주가 사물의 구조와 관련이있는 것처럼$(\infty,1)$-카테고리는 객체의 동질성 일관된 구조 와 관련 됩니다. 예를 들면 :
- 위상 공간 고려 $\Bbb R$, $(0,1)$, 및 $\{0\}$. 우리가 그들을 보면$0$-범주 적으로 ( $0$-범주 $\mathbf{Top}_0$위상 공간), 서로 다른 요소로 구성되어 있기 때문에 완전히 다릅니다. 우리가 그들을 보면$1$-범주 적으로 ( $1$-범주 $\mathbf{Top}$ 위상 공간 및 연속 맵), $\Bbb R$ 과 $(0,1)$ 위상 구조가 동일하기 때문에 동일하지만 $\{0\}$왜냐하면 그들은 bijection에 들어갈 수 없기 때문입니다. 마지막으로 우리가 그들을 보면$(\infty,1)$-범주 적으로, 세 개체는 모두 동일합니다.
- 마찬가지로 카테고리를 고려하십시오. $\mathbf{FinSet}$ 유한 집합 및 전체 하위 범주 $\mathbf{FinOrd}$유한 서수에. 전자는 적절한 객체 클래스를 가지고있는 반면 후자는 세트를 가지고있어서 bijection에 넣을 수 없기 때문에 카테고리로서 비동 형적입니다. 그러나 우리는 객체를 축소 할 수 있기 때문에 범주와 동일합니다.$\mathbf{FinSet}$ 함께 bijections로 함께 (카디널리티로) $\mathbf{FinOrd}$의 골격 입니다$\mathbf{FinSet}$
우리는 확실히 $(\infty,1)$-범주 $\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$ 동성애 카테고리 $\Ho\sC$, 객체의 $\Ho\sC$ 그들이 동등하다면 정확하게 동형입니다 $\sC$하지만 리버스 엔지니어링을 시도 할 때도 동일한 문제가 발생합니다. 이전과 마찬가지로 카테고리$\cC$ 로 생각할 수 있습니다 $(\infty,1)$-모든 상위 셀이 사소한 범주,이 경우 $\Ho\cC=\cC$, 그래서 주어진 $(\infty,1)$-범주 $\sC$, 동형 카테고리는 카테고리의 표현이기도합니다. $\cC := \Ho\sC$ 로 간주 $(\infty,1)$-카테고리 .
더욱이 $\Ho\sC$ 한계를 계산하는 방법에 대해 아무것도 말하지 않을 것입니다. $\sC$. 예를 들어$(2,1)$-범주 $\mathbf{Cat}$ (작은) 범주, 펑터 및 자연 동형의 $(\infty,1)$-범주. 그런 다음 동질성 범주$\Ho\mathbf{Cat}$실제로 여기 에 표시된 풀백이 없습니다 . 해당 호모 토피 카테고리의 호모 토피 일반적으로 한계 및 제한의 차이도 강조 여기 가 그렇게 강조하는 경우, 경우에도 한계$\Ho\sC$ 존재하는 경우 제한에 해당 할 필요는 없습니다. $\sC$.
어떤 경우에는 $(\infty,1)$-카테고리 $1$-작업 할 수 있도록 추가 구조를 갖춘 카테고리 $1$-의 구조를 논의하기위한 카테고리 언어 $(\infty,1)$-카테고리가 표시되며, 복구 할 수도 있습니다. $(\infty,1)$-범주. 예를 들어$\sC$A는 로컬 흉$(\infty,1)$-category 이면 조합형 단순 모델 범주로 표시 할 수 있습니다.$\cC$. 그런 다음$\sC$ 호모 토피 한계에 해당 $\cC$, 그리고 그들은 심지어 동일한 동 형체 범주를 가지고 있습니다. 또한 복구 할 수 있습니다.$\sC$(예를 들어) 단순 농축 하위 범주의 호모 토피 일관된 신경 을 취함으로써$\cC$ cofibrant fibrant 객체에 대해, 따라서 이러한 의미에서 뒤로 이동하는 표준 방법도 있습니다.