무한대에서 기하 급수적으로 사라지는 분석 함수
허락하다 $f$ 상위 복소 반면의 분석 함수이고 실제 축까지 연속적입니다. $a>0$. 함수 \ begin {equation} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f (\ zeta) \ mathrm {e} ^ {-ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {equation } 자체가 제한됩니다. 직관적으로 지수의 절대 값이 다음과 같이 증가하기 때문에$|z|\to\infty$, 이것은 필요합니다 $f$ 지수가 다음보다 큰 지수로 적어도 기하 급수적으로 감소합니다. $a$,에서 $|z|\to\infty$; 예를 들어,$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$, $b>a$ 이러한 기능의 조합뿐만 아니라 트릭을 수행합니다.
이 조건을 만족하는 반면에서 분석적, 경계 함수의 클래스가 실제로 더 크고 / 또는 어떻게 든 특성화 될 수 있는지 궁금합니다.
답변
성장이 통제 된 홀로 모픽 함수는 일반적으로 일반화 함수의 적분 변환 이론에 나타납니다. 예를 들어, 지수 함수에 의해 오른쪽 절반면에 경계가있는 홀로 모픽 함수 클래스를 생각해보십시오.$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ 일부 $L>0$ (함수의 규칙성에 대해 아무것도 가정하지 않음 $f$ ...에 대한 $\Im \zeta=0$).
([2] p. 400 및 p. 403) 분석 함수가$f$ 속하다 $\mathscr{LH}_a$라플라스 하이퍼 함수의 라플라스 변환 인 경우에만 : 및 클래스 \ eqref {1}를 시계 반대 방향 회전까지$\pi/2$ 멤버 정의 영역의, 상 반면에 경계가 있고 실제 축에 연속적인 홀로 모픽 함수 클래스를 엄격하게 포함합니다. $f$ 위쪽 절반 평면에 경계가 있고 실제 축에 연속적입니다. $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$.
이 클래스의 기능에 대한이 "현대적인"특성화와는 별도로 Torsten Carleman은 일반화 된 푸리에 변환을 정의하기 위해 위쪽 및 아래쪽 절반 평면에 경계가있는 함수를 사용했습니다. 그의 결과는 논문 [1]에 수집되었습니다.
참고 문헌
[1] Thorsten Carleman, L' intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent (프랑스어), Publications Scientifiques de l' Institut Mittag-Leffler, 1, Uppsala. 119 쪽 (1944), MR0014165 , Zbl 0060.25504 .
[2] 이은구, 김도한, " 라플라스 하이퍼 펑션", 적분 변환 및 특수 함수, 19 : 6, 399-407 (2008), MR2426730 , Zbl 1186.46042 .