무한히 숫자를 빼서 0이 1과 같다는“증명”

Question

최근에 저는 "증거"를 발견했습니다. $0=1$. 방법은 다음과 같습니다.

허락하다 $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. 이후$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. 이제 우리는$1-1-1-1-1-1-\cdots$ 양쪽에서 우리는 $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. 그런 다음$1-x=0-x$. 그래서,$1-x+x=0-x+x$. 그 후,$1+0=0+0$ 그래서 $1=0$.

이 증명에서 무엇이 잘못되었는지 알아낼 수 없었습니다. 결과는 분명히 사실이 아니지만 그 증거는 사실 인 것 같습니다. 그런 다음 몇 사람에게 물었더니 모두 무엇이 잘못되었는지 알아낼 수 없었습니다. 누군가 와서 무엇이 잘못되었는지 확인하도록 도와 줄 수 있습니까? 감사합니다.

Answer 1

수학에서 소위 무한 합은 일련의 형식적 정의를 가지며 부분합의 개념을 기반으로합니다 .$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ 어디 $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 부분 합계입니다.

이제 귀하의 예를 들어 보겠습니다. $1-1-1-1-1-1-1-...$, 그런 다음 부분 합계를 구성해야합니다. $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ 보시다시피 부분합에는 유한 한계가 없습니다. 즉, $1-1-1-1-1-1-1-...$ 유한 수가 아니므로 사용할 수 없습니다.

표현을 고려하면 이런 "증거"의 재미있는 예를 얻을 수 있습니다 $1-1+1-1+1-1+1-...$ 수렴을 조사하지 마십시오. $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$

Answer 2

무한 시리즈를 쓸 때 먼저 수렴하는지 확인해야합니다. 그렇지 않으면 브라케팅과 같은 일반적인 절차가 더 이상 작동하지 않습니다.

예를 들어, 모든 정수가 다음과 같다는 유사한 (거짓) 증명이 있습니다. $0$: 허락하다 $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. 모든 정수$n > 0$, 첫 번째 대괄호 $n$ 그래서 용어 $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. 그 후$n=0$.

Answer 3

허락하다 $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$

이후 $1−1=0$

$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.

이제 우리는 $1-1-1-1-1-1-\cdots$ 양쪽에서 우리는

--> $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. <--

여기에 오류가 있습니다. 괄호 앞에 마이너스가 있으면 내부의 모든 것이 무효화됩니다.

따라서 실제로 다음과 같이됩니다.

$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$

그리고 나는 그것이 유효한 수학 연산이라고 생각하지 않습니다 $\infty$ 양쪽에 $\infty$ 아주 큰 숫자에 대한 자리 표시 자일뿐입니다 (구체적으로 큰 숫자가 아니므로 $\infty_{left} \ne \infty_{right}$).

Answer 4

수렴에 대한 질문을 제쳐두고 뺄셈은 연관성이 없다는 점에 유의하십시오.

같은 유형의 3 개 용어 표현 만 사용하면 다음과 같습니다.

$(1-1)-1=-1$, 및

$1-(1-1)=1$

내가 방금 증명 했나요 $1 = -1$???