문제 $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

나는 궁극적으로 해결하려고 노력하고 있습니다 $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

적분에서 미분을 사용하여. 나는 이것이 잔류 물을 사용하여 가장 쉽게 수행된다는 것을 알고 있지만, 나는이 문제를 내 고급 미적분학 2 / 미분 방정식 학생들이 실제 분석을하기 전에 몇 가지 흥미로운 기술을 소개하고자합니다.

적분을 처음으로 차별화하면

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

Dirichlet 적분을 사용하고 다시

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

이 2 차 ODE를 풀려면 두 가지 초기 조건이 필요합니다. 에 대한 적분$I'(\alpha)$ 잘못된 결과로 이어집니다 $I'(0) = 0$ 그러나 다시 작성된 버전은 올바른 결과로 이어집니다. $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. 이것을 정당화하는 데 문제가 있습니다.

어떤 도움이나 안내를 주시면 감사하겠습니다. 나는 또한 이유에 대한 더 간단한 논쟁에 만족할 것이다.$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

당신은 그것을 가정하고 있습니다 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ 하지만 만약 $\alpha=0$, 다음 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ 그래서 평등 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ 사실이라면 $\alpha>0$.