$N(\frac{1}{2},2)=3$ 힐베르트 공간의 벡터
우연히 이 질문에 하나는 힐베르트 공간에 포함 할 수 있습니다 거의 직교 벡터의 최대 수에 관한. 그들은 말한다$N(\frac{1}{2},2)=3$, Bloch 구를 사용한 벡터의 명시 적 구성이이를 보여줍니다. 그러나 나는 이것이 의미하는 바를 이해하지 못하는 것 같습니다. 그들의 추가 예$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$이것이 단순히 pauli 연산자의 고유 벡터이기 때문에 나에게 의미가 있습니다. 그러나 다음 기준을 충족하는 벡터의 수가 3 개에 불과하다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?
$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$
$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$
답변
여기에 대해 생각하는 매우 시각적 인 방법이 있습니다 (엄격한 증거라고 주장하지 않습니다). 허락하다$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$각각 1/2의 겹침이 있습니다. 이제 이것들을 Bloch 구에 그립니다. 그들은 대원 주위에 동일한 간격의 세 개의 벡터입니다. 중첩이 증가하기 때문에 하나를 다른 장치에 더 가깝게 밀 수 없습니다.
이제 네 번째 벡터를 추가 할 수 있습니까? 구에 어떤 벡터를 추가하든간에 각도를 만들어야합니다.$\pi/2$ 기존 벡터 중 하나와 그 이하이므로 겹치게됩니다. $1/\sqrt{2}$이상. 따라서 적어도이 세 가지 벡터 선택에 대해 네 번째 벡터를 더할 수없고$\epsilon$.
이 그림을 염두에두고 이러한 벡터를 이러한 방식으로 선택 해야 한다는 것을 스스로 확신 할 수도 있습니다 .$|V_1\rangle$임의적이므로 구의 맨 위에 오도록 뷰 방향을 지정할 수 있습니다. 에 대한$|V_2\rangle$ 나는 회전에 대한 임의의 자유를 가지고 $V_1\rangle$축, 그래서 저는 실제와 양수로 직교 구성 요소를 선택했습니다. 그 시점에서 내가 선택한$|V_3\rangle$ 수정되었습니다-올바른 겹침을 가질 수있는 유일한 선택이있었습니다.
시각적 버전이 당신을 위해 그것을하지 않으면 누군가이 이것을 수학적으로 공식화 할 것이라고 확신합니다 ...