노벨 리안 질서 그룹의 행렬 표현 $p^3$?

Question

주문 그룹을 볼 때 $p^3$ (이상한 $p$) 있습니다 $2$노나 벨리 안. 하나는 Heisenberg 그룹입니다.$C_p \times C_p$ 과 $C_p$.

GAP를 사용한 일부 계산을 기반으로 다른 하나는 $C_{p^2}$ 와 $C_p$.

이 다른 그룹을 익숙한 매트릭스 그룹으로 볼 수 있습니까?

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gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

한마디로 '아니오'입니다. 그것을주의해라$\mathrm{GL}_n(q)$ ...에 대한 $q$ 힘 $p$ 질서의 요소를 가질 수 없습니다 $p^2$ 아니면 $n>p$. 따라서$p$ 매트릭스 그룹의 크기가 커져야합니다.

특징적인 분야에 대한 비슷한 이야기입니다. $p$. 어떤$1$그룹의 차원 표현은 커널의 중심에 있습니다. 유일한 충실한 표현은 최소한 학위를 가지고$p$.

따라서이 그룹은 $p$ 모든 분야에서.

편집 : 어떤 필드에도 매트릭스 표현이 없지만 링 위에 있습니다. 이 그룹은$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

방금 Keith Conrad의 노트를 보면서 이것을 발견했습니다 .