왼쪽 cosets $H$ 에 $G$ 분할 $G$

Question

허락하다 $G$ 그룹이되고 $H$하위 그룹. 그런 다음 왼쪽 cosets$H$ 에 $G$ 분할 $G$. 특히,$(1)$ 마다 $a$ ∈ G는 정확히 하나의 왼쪽 코셋에 있습니다. $aH$, 및 $(2)$ 만약 $a, b \in G$, 다음 중 하나 $aH = bH$ 또는 $aH \cap bH = \emptyset $.

부분 $(2)$수행. 내 문제는 부분적으로$(1)$, 나는 이것을 시도했지만 실제로는 확실하지 않습니다.

허락하다 $a\in G$, 우리는 $e\in H$, 그래서 $a\in aH$, 이후 $a=ae$. 이것은$a$ 일부 왼쪽 코셋에 있습니다. $aH$.

이제 $a\in aH$ 과 $a\in bH$, 우리는 $a=ae=abh$, 그래서 $bh=e$ 따라서 $a$ 정확히 하나의 왼쪽 코셋에 있습니다.

내가 맞아?

Answer 1

증명했다고 가정하면 (2) 계속 진행합니다.

$\mathbf{Theorem 1:}$ 에 대한 $a,b \in G$ 증명하다 $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ 에 대한 $a,b \in G$ 증명하다 $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

그러면 다음 조건이 동일합니다. $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ 이후 $e \in H, a=ae \in aH$. 허락하다$a \in bH$. 그때$aH=bH$. 그러므로$a$ 정확히 하나의 왼쪽 코셋에 속합니다.