$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ 어디 $\gamma$ 타원입니다 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Question

$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ 어디 윤곽 $\gamma$ 타원입니다 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 시계 방향으로 이동합니다.

내 어려움은 타원 공식을 분석 경로로 변환하는 방법입니다. 서클의 경우 쉽습니다 ($e^{zi}$),하지만 타원에 대해 그렇게하는 방법을 모르겠습니다.

Answer 1

$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$

설명:

$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$

이제 삼각 매개 변수화를위한 타원의 경우 : $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$, 같은 것을 복잡한 기능에 연결하십시오. $t$

Answer 2

명시적인 매개 변수화를 잊어 버림 $\gamma$, 그냥 Stoke의 정리를 사용하십시오 . 특히 복잡한 좌표에 명시된 버전을 사용하십시오.

허락하다 $E$ 타원으로 묶인 $\gamma$. 이후$\gamma$ 돌아 다니다 $E$ 시계 방향으로, 방향에 대해 "음수"입니다. $\partial E$, 타원의 경계. 복잡한 좌표에 Stoke의 정리를 적용하면

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ 데카르트 좌표와 관련하여

$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$단순히 면적 요소입니다. 타원 이후$E$ 준장 / 단축 있음 $3$ 과 $2$, 우리는 :

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$

비교를 위해 Cartesian coordiantes에서 계산을 다시 실행 해 보겠습니다.

우리는 매개 변수화 할 수 있습니다. $E$ 같이

$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$

이후 $\gamma$ 돌아 다니다 $E$ 시계 방향으로 앞의 표지판 $\sin\theta$긍정 대신 부정적입니다. 이것들을 원래의 적분에 연결하면

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ 분명히 기여하지 않는 용어를 버리면

$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ 같은 숫자 $36\pi i$ 우리는 전에 얻었습니다.