p-adic 대수는 무엇입니까?

Question

"주어진 $p$, 요소는 무엇입니까 $\mathbb{Q}_p$ 대수적 이상 $\mathbb{Q}$? "

나는 주기적으로 이것을 궁금해 하고 같은 것을 묻는 것처럼 보이는 이 mathoverflow 질문 을 보게 됩니다. 선택한 답변이 (내가 볼 수있는) 그 질문에 대답하지 않는 것 같고, "p-adic algebraic numbers"를 검색하면 해당 질문이 최상위 결과로 반환됩니다. 그 시점에서 나는 포기하고 잊고 다시 시도 할 때까지 기다립니다. 그래서 이번에는 묻겠습니다.

(더 편리한) 특성을 알고 계십니까? $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ 또는 "에 대한 참조가$p$-adic 대수? "

"실제 대수"보다 "실제 대수"의 특성이 "실제 대수"보다 훨씬 더 만족 스러울지는 모르겠지만 p-adic 절대 값은 본질적으로 실제 절대 값보다 "대수적"이며 다음과 같은 차이가 있습니다. $p$ 다양하므로 무엇입니까?

Answer 1

허락하다 $O_\overline{\Bbb{Q}}$ 대수적 정수가 되십시오. $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ 포함 $p$, 허락하다 $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, 다음 $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ 과 $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ (동형) $\overline{\Bbb{Q}}$ 고정 $G$.

동등하게,하자 $S$ (무한도) 대수 확장의 집합 $K/\Bbb{Q}$ 어떤 최대 이상 $\mathfrak{p}\subset O_K$ 그런 $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. 그때$\Bbb{Z}_p$ (동형) 완료 $O_K$ ...에서 $\mathfrak{p}$, 및 $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ (동형) 모든 최대 요소 $S$.