p-Laplacian에 녹색 기능이 있습니까?

Question

Green의 함수는 선형 미분 연산자에 대해 정의됩니다. $L$ 방정식의 해답으로 $LG = \delta$, 어디 $\delta$Dirac의 델타 함수입니다. 정의의 직접적인 결과$G$ 문제의 해결책은 $Lu = f$ 회선입니다 $G*f$, 어디 $G$ 그린의 기능입니다.

방정식에 대한 해결책이 있는지 알고 싶습니다. $$ \Delta_p G = \delta $$ 일부 제한된 도메인에서 $\Omega$ 경계 조건이 있습니다. $\Delta_p$ 이다 $p$-Laplacian 정의 : $$ \Delta_p u = div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u), $$ 와 $p\neq 2$ (경우 $p=2$라플라시안입니다). 문제의 해결책을 구축 할 수 없다는 것을 알고 있습니다.$\Delta_p u = f$ 회선에 의해 $G*f$, 때문에 $\Delta_p$ 비선형입니다.

이 문제에 대한 논문을 찾지 못했기 때문에 매우 어려운 문제이거나 해결책이 없다는 것이 잘 알려진 것 같습니다. 이 문제에 대해 알려 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

허락하다 $\omega_d = |\mathbb{S}^{d-1}| = \frac{2\,\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ 과 $p>\frac{d-1}{d+1}$ 확인 $p\neq d-1$. 방정식의 하나의 솔루션$$ \Delta_p u = \delta_0 $$ 에 $\mathbb{R}^d$ 이다 $$ u = \tfrac{p}{p+1-d} \frac{1}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{(d-1)}{p}-1}}. $$ 당신이 말했듯이 이것은 다른 우변으로 방정식을 푸는 데 유용하지 않습니다. $\Delta_p$선형이 아닙니다. 따라서 나는 그것을 Green 함수라고 부르지 않을 것입니다.

비고 : 언제$p=d-1$, 동일한 절차가 제공됩니다 $u = C\,\ln(|x|)$.

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증명 : 그러한 기능을 위해$u$, 실제로 하나는 $$ ∇u = \frac{x}{\omega_d^\frac{1}{p}\,|x|^{\frac{d-1}{p}+1}} $$ 그래서 $$ |∇u|^p = \frac{1}{\omega_d\,|x|^{d-1}} = \left|\frac{x}{\omega_d\,|x|^{d}}\right| = |∇G_1| $$ 어디 $G_1 = \frac{-1}{(d-2)\,\omega_d\,|x|^{d-2}}$ 라플라스 방정식의 해입니다. $\Delta G_1 = \delta_0$. 따라서$|∇u|^{p-1}∇u$ 과 $∇G_1$ 같은 방향이고 같은 규범의 평행하고 $|∇u|^{p-1}∇u = ∇G_1$, 그래서 $$ \Delta_p u = \mathrm{div}(|∇u|^{p-1}∇u) = \mathrm{div}(∇G_1) = \Delta G_1 = \delta_0. $$