프라임 $p \ge 5$ 존재한다 $n$ 와 $2 \le n \lt p -1$ 와 $[n]$ 단일성의 원시 뿌리 $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.

Aug 19 2020

허락하다 $p$ 만족 스럽다 $p \ge 5$.

다음이 사실입니까?

정수가 있습니다. $n$ 만족스러운

$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[엔]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(즉 $[n]$ 단일성의 원시 뿌리)

진술이 사실이면 후속 질문이 있습니다.

선택할 수있는 소수가 있습니까? $n$?

내 작품

나는 이것이 이제 직관적 인 '확실한 것'이 될 때까지 수 이론에서 '놀고'있었지만, 반대의 예를 통해 모두 날려 버릴 수 있습니다. 참이면 대답이 관련 될 수 있으므로 참조 요청 태그를 추가했습니다 . conjecture 태그도 추가했지만 내가받은 피드백에서 유지할 수 없게되면 삭제하겠습니다.

답변

1 Nate Aug 23 2020 at 06:44

좋아요, 일반적인 경우를 알아 냈습니다. 그래도 다른 대답은 남겨 둘 것입니다.

기억하세요 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.

특히 각 원시 루트 $\alpha$ 모드 $p$ 정확히 하나의 리프트가 있습니다 $\hat{\alpha}$ 모드 $p^2$ 그것은 원시적이지 않으며, 그것은 $\{e\} \times C_{p-1}$위의 동형에서 하위 그룹. 우리는 이것에서 볼 수 있습니다$\hat{\alpha}$ 원시 모드입니다 $p$ 하지만 모드는 아님 $p^2$ 곱셈 역 모드보다 $p^2$ (이것은 $\hat{\alpha}^{p-2}$ 이 경우) 또한 원시 모드입니다. $p$ 하지만 모드는 아님 $p^2$.

좋아 이제 가정 해 $\alpha < p$ 원시 루트 모드입니다. $p$ 하지만 $p^2$. 고유 번호 고려$\beta < p$ 그런 $\alpha \beta \equiv 1$ 모드 $p$. 나는 그것을 주장한다$\beta$ 기본 루트 모드 여야합니다. $p^2$. 그렇지 않다고 가정하면$\beta$ 역이어야합니다 $\alpha$ 모드 $p^2$ 에 합동하는 고유 한 비 원시 요소가 있기 때문에 $\beta$ 모드 $p$, 그리고 우리는 $\alpha$하나입니다. 그러나 이후$\alpha < p $ 과 $\beta < p$ 우리는 그것을 가지고 $\alpha \beta < p^2$, 그래서 그들은 역이 될 수 없습니다.

Nate Aug 23 2020 at 05:57

언제에 대한 증거가 있습니다. $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:

먼저 $p \equiv 1 \mod 4$ 그때 $\alpha$ 원시 루트 모드입니다. $p$ iff $-\alpha$이다. 가정$(-\alpha)^b \equiv 1$ 일부 $b < p-1$. 만약$b$ 그때도 우리는 $\alpha^b \equiv 1$, 이는 모순입니다. $\alpha$원시적입니다. 만약$b$ 그때 이상했다 $\alpha^b \equiv -1$, 이는 $b = \frac{p-1}{2}$ 하지만 그 이후로 이상하지 않습니다 $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.

자 이제 모드를 살펴 보겠습니다. $p^2$. 나는 주장한다$\alpha < p$ 원시 루트 모드입니다. $p$ 다음 중 하나 이상 $\alpha$ 또는 $p-\alpha$ 원시 모드입니다 $p^2$.

이후 $\alpha$ 과 $p-\alpha$ 원시 모드입니다 $p$, mod $p^2$ 그들은 원시적이거나 질서가 있습니다. $p-1$. 둘 다 있다고 가정합니다.$\alpha^{p-1}$ 과 $(p-\alpha)^{p-1}$ ~에 합동하다 $1$ 모드 $p^2$. 이항 정리로 이것을 확장하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.