프라임 삼각형을 사용한 오차 프라임 예측 (Q : 성장과 대칭).
소수 예측에 오류가 있습니다.
이전 두 소수를 기반으로 다음 소수의 위치를 추정하는 방법이 제공됩니다. 추정 오류가 결정됩니다. 이 오류가 커지거나 수렴되면 지금 싶습니다.
변 길이가 소수 인 삼각형을 만들 수 있습니다. 이러한 삼각형은 벡터 추가로 구성 할 수 있습니다. 피보나치 수열과 마찬가지로 다음 항목은이 경우에만 벡터를 사용하는 두 선행 항목의 합입니다.
$$\vec{p}(n+2)=\vec{p}(n)+\vec{p}(n+1)$$
이 모든 프라임 삼각형이 존재합니까? 그러면 앞의 소수의 합이 다음보다 커야합니다.$|\vec{p}(n+2)|$. 최악의 시나리오는 트윈 프라임이므로 다음과 같습니다.
$$|\vec{p}(n+2)|<2|\vec{p}(n+1)|-2$$
이것은 다음으로도 알려져 있습니다. Bertrand–Chebyshev 정리 https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate. 그래서 모든 삼각형은 내 이해 속에 존재해야합니다. 삼각형 : 2, 3, 5는 각도가$\beta=0$ 2 (짝수) + 3 (홀수) = 5 (홀수)는 패리티의 일치가있는 유일한 세트입니다 (2는 짝수 일뿐입니다).
각 삼각형의 높이 (그림에서 좌표 x, y)는 코사인 법칙을 적용하여 계산할 수 있습니다.
$$\alpha=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n+1)|^{2}+|\vec{p}(n+2)|^{2}-|\vec{p}(n)|^{2}}{2|\vec{p}(n+1)||\vec{p}(n+2)|} \right)$$ $$\beta=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+2)|^{2}-|\vec{p}(n+1)|^{2}}{2|\vec{p}(n)||\vec{p}(n+2)|} \right)$$ $$\gamma=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}-|\vec{p}(n+2)|^{2}}{2|\vec{p}(n)||\vec{p}(n+1)|} \right)$$ $$x=|\vec{p}(n)|+|\vec{p}(n+1)|\cos(\pi-\gamma)$$ $$y=|\vec{p}(n+2)| \cos(\pi /2 - \beta)$$
x, y (처음 20.000.000 소수)를 플로팅하면 삼각형 높이가 선형으로 증가하는 경향이 있음을 알 수 있습니다. 경사가 수렴$\sqrt{3}$정삼각형 형성 (아래 링크의 비디오 참조). 이는 다음 두 소수가 n → ∞이면 거의 서로 같다는 것을 의미합니다. 격차$g_{n}$ 소수의 크기를 무시할 수있게됩니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds.
$$|\vec{p}(n+1)|=|\vec{p}(n)|+g_{n}$$
이 관계로 우리는 다음 소수를 예측할 수 있습니다 $\tilde{p}(n+2)$ 전임자 (코사인 법칙)를 기반으로 $\beta=\pi/3$ (경사 =$\sqrt{3}$).
$$|\tilde{p}(n+2)|=|\vec{p}(n)|\cos(\beta)+\sqrt{(|\vec{p}(n)|^{2}\cos^{2}(\beta))-|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}}$$ $$|\tilde{p}(n+2)|=\frac{1}{2}|\vec{p}(n)|+\sqrt{-\frac{3}{4}|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}}$$
예측 오류는 다음을 통해 확인할 수 있습니다.
$$\varepsilon(n)=|\tilde{p}(n)|-|\vec{p}(n)|$$
이 오류 플로팅 (첫 번째 : 20.000.000 소수) :
관찰.
- 이 범위 내에서 오류가 매우 느리게 증가하는 것으로 관찰됩니다.
- 오류는 대칭을 보여줍니다.
질문:
- 이 오류가 수렴 또는 증가하며 얼마나 빠릅니까?
- 오류의 대칭 (음의 오류와 양의 오류 사이의 균형)이 유지됩니까?
비디오 프라임 삼각형 (수렴 등변).
Youtube의 애니메이션, 추가 정보 및 주석 참조. https://youtu.be/YOsASuAv54Y
답변
Primegap 성장.
평균 프라임 갭은 스택 교환 주제에 설명 된대로 증가합니다. https://math.stackexchange.com/q/1261272/650339.
$$\sim \log (n)$$
이러한 성장은 또한 프라임 삼각형을 사용한 프라임 / 갭 예측 오류의 증가를 유발합니다. 다음은 (처음 20.000.000 소수)로 플로팅 된 업데이트 된 오류 그래프입니다.$\sim \log(n)$:
예측 프라임 갭이 0이면 균형 잡힌 프라임 세트가 있습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_prime. 오른쪽 아래 그래프는 이전 모델의 실제 Primegap 함수로 예측 된 오류를 보여줍니다. 긍정적 인 오류와 부정적인 오류 사이에 관찰 된 대칭이 발생합니다.
- 오류의 대칭은 예상치 못한 것입니다. 그래프의 빨간색 삼각형 (음수 오차)은 파란색 삼각형 (양수)과 동일한 숫자를 관찰했습니다.
- 트윈 프라임은 음수 오류에만 기여합니다.
- 더 큰 간격에 대한 오류 범위는 더 작습니다.
더 많은 관찰 :
오류 : 균형 소수와의 관계.
프라임 삼각형을 사용한 프라임 예측 :
$$\tilde{p}_{n}=\frac{1}{2}{p}_{n-2}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{\:2}+{p}_{n-1}^{\:2}}$$
균형 잡힌 프라임 공식과 오차로 계산 된 프라임 :
$${p}_{n-1}=\frac{p_{n-2}+p_{n}+\varepsilon_{*}(n)}{2}$$
두 관계 모두 상관 / 수렴합니다 (증명은 제공되지 않지만 수치 분석에 의해서만 테스트 됨).
$$\varepsilon(n)=\tilde{p}_{n}-{p}_{n}$$
$$\varepsilon(n)=\frac{1}{2}{p}_{n-2}-p_{n}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{\:2}+{p}_{n-1}^{\:2}}$$
$$\varepsilon(n) \sim 2{p}_{n-1}-{p}_{n-2}-{p}_{n}$$
따라서 오류는 소수가 균형 소수에서 얼마나 벗어나는지 표시합니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_prime.
오류 : 예측 소수는 예측 간격입니다.
삼각형이있는 프라임 예측의 오류 $\tilde{p}(n)$ 예측 된 프라임 갭의 오차와 같습니다. $\tilde{g}_{n}$:
$$\varepsilon(n)=(\tilde{p}_{n}-{p}_{n-1})-({p}_{n}-{p}_{n-1})$$ $$\varepsilon(n)=\tilde{p}_{n}-{p}_{n}$$
누군가 대칭이 어디에서 왔는지 설명하고 의견을 남겨주세요.