프레 셰 파생 상품 $\frac{1}{\|x\|}$

Question

힐베르트 공간에서 $V$, 기능 $f:V\to\mathbb{R}$, 만약 $f$ Fréchet은 $x_0$, 프레 셰 파생물 $\nabla f(x_0)$ 이다 $v$ 그런 $$ \lim_{x\to x_0} \frac{|f(x) - f(x_0) - \langle v, x-x_0 \rangle|}{\|x-x_0\|} = 0$$

예를 들어 $f(x) = \|x\|$, Fréchet 미분은 $\nabla f(x) = \frac{x}{\|x\|}$,이 Wikipedia 증명에 표시된대로 .

이제 제 질문은 Fréchet의 파생어는 무엇입니까? $f(x) = \frac{1}{\|x\|}$. 내 직감은 다음과 같이 말한다$-\frac{x}{\|x\|^3}$ 정상적인 미분 규칙을 따르고 있지만 해결할 수없는 것 같습니다.

Answer 1

허락하다 $f:H\to \mathbb R: f(x)=\|x\|.$ 그런 다음 $x\neq 0,\ f$ 차별화 가능 $x$. 참고$f(x)\neq 0$ 할때는 언제나 $x\neq 0.$ 허락하다 $g:\mathbb R^+\to \mathbb R^+:g(x)=x^{-1}.$ 만약 $x\neq 0,$ 그때 $g$ 차별화 가능 $x$. 체인 규칙에 따라

$$(g\circ f)'(x)h=g'(f(x))\circ f'(x)h$$ 계산, 우리는

$$(g\circ f)'(x)h=g'(f(x)(\langle\frac{x}{\|x\|},h\rangle)=\langle\frac{x}{\|x\|},h\rangle g'(f(x))=\langle\frac{x}{\|x\|},h\rangle\left(\frac{-1}{\|x\|^2}\right)=\langle\frac{-x}{\|x\|^3},h\rangle$$

Answer 2

관계에 제품 규칙 을 적용 할 수 있습니다.$$1 = \|\cdot\| \cdot \frac1{\|\cdot\|}$$

얻기 위해

$$D1(x_0) = \frac1{\|x_0\|}D(\|\cdot\|)(x_0) + \|x_0\|D\left(\frac1{\|\cdot\|}\right)(x_0)$$ $$0 = \frac{x_0}{\|x_0\|^2} + \|x\|D\left(\frac1{\|\cdot\|}\right)(x_0) \implies D\left(\frac1{\|\cdot\|}\right)(x_0) = -\frac{x_0}{\|x_0\|^3}.$$

Answer 3

이 문제를 해결하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

첫 번째 방법은 체인 규칙을 사용하는 것입니다. 이를 위해서는 체인 규칙이 Fréchet 도함수에 대한 Hilbert 공간에서도 유지된다는 지식이 필요합니다.$\mathbb R^n$. 아니면 체인 규칙을 직접 증명할 수도 있습니다.

두 번째 방법은 Fréchet 미분 (이미 추측이 있음)을 추측 한 다음 $\lim$ 정의에서 참으로 $0$.