필드와 유한 필드의 차이점은 무엇입니까?
나는 내 질문이 주제에서 벗어난 것을 알고 있으며 그것에 대해 미안합니다.
나는 최근에 그룹 이론에 빠졌고 필드의 정확한 정의와 혼동했습니다.
선생님은 이렇게 말씀하셨습니다.
$Z_{x}$ 필드입니다. $x$ 다음과 같은 주요 힘입니다 $p^n$ 어디 $p$ 프라임이고 $n$ 양의 정수입니다.
이 문장에 따르면 우리는 결론을 내릴 수 있습니다 $Z_{4}$필드도 있지만 역 곱셈 속성을 만족하지 않기 때문에 필드가 아니어야한다고 생각합니다 .
Wikipedia 와 같은 일부 웹 사이트 는 다음을 나타냅니다.
유한 필드의 요소 수를 순서 또는 때로는 크기라고합니다. 유한 한 질서$q$ 주문이있는 경우에만 존재합니다. $q$ 주요한 힘이다 $p^k$ (어디 $p$ 소수이고 $k$양의 정수). 주문 분야에서$p^k$, 추가 $p$모든 요소의 사본은 항상 0이됩니다. 즉, 필드의 특성은$p$.
이 단락으로 인해 $Z_{4}$필드 가 아닌 유한 필드 여야 합니다 .
그래서 제 질문은 : 선생님이 실수를 했나요? 가 유한 필드 같은 반지 ? 그렇지 않다면 유한 필드 와 링의 차이점은 무엇 입니까?
필드와 유한 필드의 차이점을 찾기 위해 인터넷에서 거의 모든 관련 페이지를 읽었지만 정확히 설명 된 것이없고 지금도 여전히 혼란스러워서 여기에서 질문하기로 결정했습니다.
답변
유한 필드는 필드입니다. 유한 또는 무한 필드에는 제수가 0이 없습니다. 만약$\mathbf{Z}_4$ 네 말 뜻은 $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, 정수 링 모듈로 $4$, 그 링은 제수가 0이고 따라서 필드가 아니라는 것이 맞습니다. 네 가지 요소가있는 필드가 있지만$\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$. 덧셈과 관련하여이 필드는 다음과 같습니다.$(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\times(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$. 곱셈과 관련하여 그 구조는 더 복잡합니다. 구성을 설명하는 출처를 쉽게 찾을 수 있어야합니다.
다음은 간략한 요약입니다. 현장 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 방정식에 대한 해결책이 없습니다 $x^2+x+1=0$ (이후 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 두 가지 요소 만 있고 $0$ 과 $1$, 둘 다 방정식을 해결하지 못함). 우리는 분야를 확장 할 수 있습니다$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 새 요소를 포함하여 $x$ 우리가 확장하는 것과 거의 같은 방식으로 위의 방정식을 해결합니다. $\mathbf{R}$ 솔루션을 포함하여 $x^2+1=0$. 결과는 4 개의 요소가있는 필드입니다. 따라서 확장 필드의 요소에는 다음이 포함됩니다.$0$, $1$, $x$, 및 $x+1$. "어떻게$x^2$등? "하지만 이후 $x$ 만족하다 $x^2+x+1=0$, 우리는 항상 제거 할 수 있습니다 $x^2$ 그리고 더 높은 힘 $x$. 이것은 사용하는 것과 유사합니다.$i^2=-1$ 더 높은 힘을 제거하기 위해 $i$복소수로 작업 할 때. 이 새 필드의 0이 아닌 요소가 순환 순서 그룹을 형성하는지 확인할 수 있습니다.$3$: $$ 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5,\ldots=1, x, x+1, 1, x, x+1, \ldots. $$
유한 필드는 동형까지 고유합니다.
도움이 되었기를 바랍니다.
만약 $k$ 유한 장, 링 동형 $$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow k,z\mapsto z\cdot1$$ 어디 $z\cdot 1=\underbrace{1+...+1}_{z}$ ...에 대한 $z$ 음이 아닌 $z\cdot 1=\underbrace{-1+(-1)...+(-1)}_{-z}$ ...에 대한 $z$ 네거티브, 어디서 $\underbrace{1+...+1}_{0}=0$ 빈 합계이며, 그렇지 않으면 사소하지 않은 커널을 가져야합니다. $\varphi$ 주사제이고 $\mathbb{Z}$무한합니다. 지금$\mathbb{Z}$ 주된 이상적인 도메인이므로 커널은 다음 형식이어야합니다. $(p)=\{zp:z\in\mathbb{Z}\}$ 일부 $p\neq 0$ 이제 그 몫이 $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/(p)$ 다음과 같은 경우에만 정수 영역입니다. $p$프라임 그 자체입니다. 필드의 하위 링은 필수 도메인이므로 커널은$(p)$ 프라임 $p$라고하는 $k$ 위의 몫은 $\mathbb{Z}$ 에 $k$. 지금$k$ 유한 차원의 프라임 필드라고도하는이 서브 필드에 대한 벡터 공간입니다. $$\dim_{\mathbb{Z}_p}k=n$$ 그때 $k$ 정확히 $p^n$ 집단.