Poincare 그룹의 Casimir 운영자

Dec 13 2020

그룹에 대한 Casimir 연산자를 해당 그룹의 모든 생성자와 통근하는 연산자로 정의했습니다. Poincare 그룹의 경우 두 명의 Casimir 운영자를 찾았습니다.$p_\mu p^\mu$$W_\mu W^\mu$ 어디 $W_\mu$Pauli-Lubanski 벡터입니다. 그들이 실제로 Casimir 운영자인지 확인하면서,$p_\mu p^\mu$스칼라이면 모든 생성기와 자동으로 정류됩니까? 두 번째 Casimir 운영자도 마찬가지입니다.

답변

1 NiharKarve Dec 13 2020 at 13:01

불행히도 Lorentz 불변 연산자는 자동으로 Casimir 연산자가 아닙니다. 구성 할 수있는 본질적으로 무한한 독립적 인 Lorentz 스칼라가 있기 때문에이를 확인할 수 있습니다. $M_{\mu\nu}$$P_\mu$반면에 Poincaré 그룹의 Cartan subalgebra의 차원은 유한 한 것으로 보일 수 있습니다. 예는$\frac12 M_{\mu\nu} M^{\mu\nu}$, 실제로는 Lorentz 하위 그룹의 Casimir 운영자이지만 전체 Poincaré 그룹에서는이 운영자가 $P_\mu$, 그래서 전체 그룹에 대한 Casimir 운영자가되지 못합니다.

이것의 본질은 정류자가 $[AB, C]$ 같음 $A[B, C] + [A, C]B$, 이는 동일하게 0이 아닙니다 (아마도 용어에 익숙해 졌을 수 있습니다. 스칼라의 경우 Lorentz 스칼라가 아니라 숫자 에서 와 동일하게 0입니다 )

따라서 Casimir-ness를 증명하는 가장 간단한 방법은 단순히 정류 관계를 통해 크랭크하는 것입니다 (몇 가지 트릭을 사용할 수 있습니다. $W_\mu W^\mu$, 그러나 그것은이 답변의 범위를 벗어납니다). 그 반대는 이들이 Poincaré 그룹 의 유일한 Casimir 운영자 임을 증명하는 것이므로 훨씬 까다 롭습니다. David Bar Moshe의 훌륭한 답변 을 설명합니다.