Poincaré 이중성을 일으키는 교차점지도
허락하다 $M$ 원활하게 삼각 측량 된 콤팩트 $d$차원 다기관. 서브 컴플렉스 고려$C_*^{\pitchfork T}(M)$삼각 분할을 가로 지르는 부드러운 단일 사슬로 구성되어 있습니다. 유도 사슬 호모 토피 구조는 이것이 모든 매끄러운 사슬에 준동 형이라는 것을 확립하고, 따라서 모든 단수 사슬입니다.
교차로지도 정의 $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (후자는 삼각 측량에서 발생하는 단순한 코 체인입니다) $\sigma : \Delta^d \to M$ 특성 맵이있는 삼각 분할 요소의 값을 갖는 코 체인에 $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ 풀백으로 주어진 제로 매니 폴드의 개수입니다. $\sigma$ 과 $\iota$. 여기도$R$ 이다 $\mathbb{Z}/2$ 또는 $M$방향이 있어야하고 개수는 일반적인 기호와 함께 있어야하며 모서리가있는 매니 폴드에 대해 일부 버전 (예 : this )을 사용합니다.
재미있는 운동 : 적절한 표시와 함께, $I$사슬 콤플렉스의지도입니다. (힌트 : 사전 이미지를 세어 정의 된 정도가 동형 불변이라는 증거에서와 같이 이것은 단일 매니 폴드의 분류에 의존합니다.) Poincaré 이중성은 도메인과 범위를 의미합니다.$I$ 유사 동형입니다.
질문 : 왜 $I$ 준동 형?
나는 이것을 증명할 수 있다고 생각하지만, 모드 2 설정에서만 지루함에 대한 톰의 중요한 작업과 코 보디 즘에 대한 Quillen의 기본 접근 방식을 사용하여 (그의 "기본"논문의 정의 만-주요 결과가 아닙니다. 논문 제목에도 불구하고 깊은). 그러나 지향적 인 경우를 포함하는보다 직접적인 논증이 있어야합니다. 그리고 이것이 문학 어딘가에 있어야하는 것처럼 보입니다-아마도 1940 년대부터?
(동기 : Greg Friedman, Anibal Medina 및 저는 벡터 필드 흐름을 통해 Do chain 및 cochains가 매니 폴드에 대해 동일한 것을 알고 있습니까?와 같은 질문에 대한 새로운 접근 방식이라고 생각하는 것을 가지고 있으며, 상호 작용에 대한 기존 지식을 구축하고 싶습니다. 교차점과 이중성 사이.)
답변
관련성이 높고 관련성이 높은 댓글 스레드에서 Mike Miller는이 Lipyanskiy 프리 프린트 를 지적했습니다. 나는 Joshua와 Dmitri와 내가 코멘트에서 논의한 것과 같이 작동하는 논쟁이 있다고 확신합니다. 하지만 잊어 버리기 전에 Lipyanskiy의 작업, 특히 섹션 12를 가리키고 질문에 답을 표시하고 싶습니다.