폰 노이만 대수의 정상 기능에 대한 동형

Aug 19 2020

이 질문은 Pedersen의 저서 "C * -algebras and their automorphism groups"(P55 Def. 3.6.5)에서 시작되었습니다.

만약 $M$ 폰 노이만 대수 $B(H)$하자 $T(H)$ 의 요소를 표시 $B(H)$ 추적 클래스 및 세트 $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$. 알다:$T(H)/N\cong M_*$ (아이소 메트릭 동형), $M_*$ 모든 정상적인 기능을 나타냅니다. $M$.

증명. Pedersen 책의 정리 3.6.4에서 우리는 다음으로부터 자연지도를 만들 수 있습니다.$T(H)/N$ ...에 $M_*$ 으로 $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ 어디 $x$ 다음과 같은 추적 클래스의 연산자입니다. $\phi(y)=Tr(xy)$ ...에 대한 $y\in M$. 이 선형 맵이 bijective라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그리고 확인할 수 있습니다$||x+N||_1\leq||\phi||$ 정의에 의해 $||.||_1$ 및 극지 분해 $M$. 그러나 증명하는 방법$||x+N||_1\geq||\phi||$? (여기,$||.||_1:=Tr(|.|)$).

답변

1 MartinArgerami Aug 20 2020 at 00:59

첫째, 우리는 $a\in B(H)$$b\in T(H)$, Hölder 불평등 $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ 사실, 쓰기 $b=v|b|$ 극지 분해, 우리는 Cauchy-Schwarz에 의해 \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}

몫지도는 $*$-동형, 주어진 $z\in N$ 우리는 $|x+z|=|x|+w$ 일부 $w\in N$. 그렇다면$\|y\|=1$$x=v|x|$ 극지 분해입니다. $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ 이것은 모든 것을 위해 할 수 있기 때문에 $z\in N$, 우리는 $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$