풀다 $(x-a)^{\alpha +1} - \lambda*(b-x)^{\alpha + 1} = C(\frac{a+b}2 - x)^{\alpha}$ 위에 $\mathbb R$ [닫은]

Nov 20 2020

다음 방정식을 해결하는 데 어려움을 겪고 있습니다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다. a, b, C,$\alpha$,$\lambda$ 실수가있다 $C < 0$, $0 < \alpha < 1$, $\lambda > 1$. 그런 다음 방정식 \ begin {equation} (xa) ^ {\ alpha +1}-\ lambda * (bx) ^ {\ alpha + 1} = C * (\ frac {a + b} {)에 대한 해를 찾습니다. 2}-x) ^ {\ alpha}. \ end {equation} 변수는$x$ 그리고 우리는 범위에서 실제 솔루션을 찾고 있습니다 $0 \leq x \leq (a+b)/2$.

답변

2 CarloBeenakker Nov 20 2020 at 18:19

정의시 $y=[(a+b)/2-x]/\Delta$, $\Delta=(b-a)/2>0$, $k=C/\Delta<0$, 몇 가지 자유 매개 변수를 제거하고 $$(1-y)^{\alpha+1}-\lambda (1+y)^{\alpha+1}-k y^\alpha=0,\;\;0\leq y\leq 1.$$

일반용 $\alpha\in(0,1)$ 폐쇄 형 솔루션이 없으며 간격 내에서 실제 솔루션이 전혀 없을 수 있습니다. $[0,1]$.

특히 $\alpha\rightarrow 1$, 솔루션은 경향이 $y\rightarrow (1+k/2)\pm\sqrt{k}\sqrt{4+k}$, 이는 가상입니다. $-4<k<0$.

다른 극단에서 $\alpha\rightarrow 0$, 솔루션은 경향이 $y\rightarrow \frac{1-k-\lambda}{1+\lambda}$ 그것은 부정적인 $\lambda>1-k$.

더 일반적으로 $\alpha$ 충분히 큰 솔루션은 없습니다 $\lambda$.


업데이트 : OP는 다음과 같은 추가 제약 조건으로 질문을 다시 게시 했습니다.$k=-2\lambda(\alpha+1)$, 그래서 우리는 해결책을 찾습니다 $$(1-y)^{\alpha + 1}-\lambda (y+1)^{\alpha + 1} + 2 \lambda (\alpha + 1) y^{\alpha} = 0.$$ 에 대한 $\alpha\ll 1$ 해결책은 $$y= \left(\frac{\lambda-1}{2 \lambda(\alpha+1)}\right)^{1/\alpha}.$$