푸리에 변환 $L^1$ 도함수가있는 함수 $L^1$ 무한대에서 사라집니다. $L^1$

Jan 06 2021

$f \in L^1(\mathbb{R})$ 미분 할 수있는 기능입니다. $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, 푸리에 변환의 증명 $f$ 유명한 $\hat{f}$$L^1 (\mathbb{R})$

나는 알고있다 $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, 다음 $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$그러나 미분이 무한대에서 사라지는 조건을 사용하는 방법에 대한 아이디어가 없습니다. 어떤 아이디어라도 도움이 될 것입니다.

답변

1 copper.hat Jan 07 2021 at 11:07

두 가지 힌트 :

사실을 사용하십시오 $f'$ 그것을 보여줄 수밖에 없다 $f' \in L^2$ 그리고 Plancherel을 사용하십시오.

참고 $f'$ 제한되고 이후$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ 우리는 그것을 본다 $f' \in L^2$. 그런 다음 Plancherel은$\hat{f'} \in L^2$. 참고$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Cauchy Schwartz를 사용하고 $\omega \neq 0$ 우리는 $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

에 대한 $\omega \neq 0$ 우리는 $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ 그리고 Cauchy Schwartz는 $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.