평가 $\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx$
나는 내가 운동 한이 대답 에서 많은 재미를 보았습니다.$$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^4+x^3+x^2+x+1}}\,dx=\frac4{\sqrt{4\varphi+3}}F\left(\frac{3\pi}{10},m=8\varphi-12\right)$$ 그러나 분모 다항식에서 가장 큰 지수가 $4$하지만 다른 정수? 즉, 일반 폐쇄 형 또는 단일 시리즈 표현이 있습니까? $$\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx\ ?$$ 에 대한 $n=5$ 대답은 위와 같습니다. $n=4$ $$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}\,dx=2^{-1/4}F\left(\cos^{-1}\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2},\frac12+\frac1{2\sqrt2}\right)$$ 에 대한 적분 $n=1,2,3$갈라진다. 적분 평가$n\ge6$그러나 시리즈에서도 실행 불가능한 것으로 보입니다. 여기 에 Jack d' Aurizio의 대답 에있는 감마 곱의 합 은 매우 매력적으로 보이지만$n=5$ – 그래야만 적분이 $[0,\infty]$ 적분의 두 배입니다 $[0,1]$,이 시점에서 베타 기능을 가져옵니다. Jack의 대답의 다른 결과는 이중 합으로 다른 것으로 일반화 될 수 있습니다.$n$ 그러나 그다지 우아하지는 않습니다 (부분적으로는 이중 합 때문이고 부분적으로는 그 합의 한 경계가 바닥 함수를 사용하기 때문입니다).
작업을 해결하는 접근 방식이 동일한 적분에 대해 적분을 제공하지만 다른 경계 (예 : $[0,1]$), 감사하겠습니다.
답변
"단일 시리즈 표현"을 제공하겠습니다. 바라건대 독수리 눈을 가진 누군가가 초 기하학적 용어로 그것이 무엇인지 발견하여 닫힌 형태를 얻을 수 있기를 바랍니다.
에 대한 $x\in[0,\,1]$, 적용 $x=\sin^{2/n}t$; ...에 대한$x\ge1$, 적용 $x=\csc^{2/n}t$. 떨어지는 Pochhammer 기호와 관련하여 적분은 다음과 같습니다.$$\begin{align}&\frac2n\int_0^{\pi/2}(\sin^{2/n-1}t+\sin^{-3/n}t)\sqrt{1-\sin^{2/n}t}dt\\&=\frac2n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\int_0^{\pi/2}(\sin^{2(k+1)/n-1}t+\sin^{2(k-3/2)/n}t)dt\\&=\frac1n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}(\operatorname{B}(\tfrac{k+1}{n},\,\tfrac12)+\operatorname{B}(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12,\,\tfrac12))\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\left(\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}+\tfrac12\right)}+\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+1\right)}\right).\end{align}$$
허락하다 $n\ge5$. $$J_n=\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx+\int_1^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ 그런 다음 $x\mapsto 1/x$ 두 번째 적분에 두 가지를 더합니다. $$J_n=\int_0^1\left(1+x^{(n-5)/2}\right)\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ 사용 $$(1-q)^{-\alpha}=\,_1F_0(\alpha;;q),$$ 우리는 $$\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}x^k,$$ 어디 $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{k}[n|r]\frac{(\tfrac12)_{r/n}(-\tfrac12)_{k-r}}{(r/n)!(k-r)!},$$ 와 $[a|b]$ 아이버슨 브라켓이되는 $b/a\in\Bbb Z$: $$[a|b]=\left\lfloor \exp\left(a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor-b\right)\right\rfloor.$$ 그러므로 $$J_n=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\int_0^1(1+x^{(n-5)/2})x^kdx=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\left(\frac1{k+1}+\frac{2}{2k+n-3}\right).$$ 또한 우리는 $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{\lfloor k/n \rfloor}\frac{(\tfrac12)_{r}(-\tfrac12)_{k-nr}}{r!(k-nr)!}.$$ 일반적인 폐쇄 형식이 있는지 의심 스럽습니다.