평가 $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
다음 적분을 평가하려고합니다. $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ 어디 $\zeta >0$양의 실수입니다. 이 함수의 역도 함수는 지수 적분 측면에 불과하므로 다른 접근 방식을 사용하기로 결정했습니다.
내 시도
나는 다음을했다 $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ 그런 다음 내 절차가 올바른지 확인하기 위해 WolframAlpha를 사용하여 방정식의 양변을 평가했습니다. $\zeta = 1$. 여기에서 나는 그것을 얻었다$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$어디에서 실수를했는지 잘 모르겠습니다. 나는 합이 절대적으로 수렴한다고 믿기 때문에 적분과 합을 바꾸는 것이 정당하다고 생각하지만 지금은 그렇게 확신하지 않습니다.
누가 내 실수가 어디 있는지 말해 줄 수 있습니까? 아니면 누군가 내가이 적분을 어떻게 평가할 수 있는지 말해 줄 수 있습니까? 감사합니다!
편집 : 의견 덕분에 적분을 단순화 할 수 있다고 믿습니다.$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ 내가 취한 접근 방식이 이것을 보여주는 좋은 방법인지는 모르겠지만, 내가 여기에 올 수있는 방법에 대한 아이디어가있는 사람이 있다면 크게 감사하겠습니다!
답변
적분을 잠시 가지고 놀다가 적분을 풀 수있는 방법을 찾았다 고 생각합니다. $\text{Si}(\zeta)$.
우리가 정의한다고합시다 $F(\zeta)$ 같이 $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ 여기서 우리는 $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. 이제 여기에서 다음의 도함수를 분석 할 수 있습니다.$F$ 다음과 같이 : \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}Leibniz의 적분 규칙으로 인해 미분을 적분 내부에 부분적으로 넣을 수 있음을 상기합니다. 반면에 미적분의 기본 정리를 통해 우리는 쉽게 알 수 있습니다.$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ 그리고 우리가 찾은 이후 $2$ 같은 도함수를 가진 함수, 우리는 그것들이 상수까지 동일해야한다는 것을 알고 있습니다. $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ 그러나 우리가 가지고 있던 초기 조건을 회상하면 다음과 같이 상수 값을 풀 수 있습니다. $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ 그래서 최종 결과는 $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
이 솔루션은 모든 사람에게 유효하다고 생각합니다. $\zeta \in \mathbb{R}$, 이는 원래 문제를 긍정적 인 값 이상으로 일반화 할 수 있음을 의미합니다. 이번에는 빠진 내용이 없다고 생각 합니다만, 있으면 알려주세요!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$는 IS 사인 적분 함수 .