평가 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi$

Nov 27 2020

평가해야합니다.

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi $$

이항 정리와 신원을 사용하여 :

$${}_2F_1 \left(\begin{array}{c}a , b \\ c \end{array};x\right) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a} \, \mathrm{d}t$$

따라서 먼저 이항 정리를 사용하여 다음을 얻습니다.

\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \sum_{k=0}^{\beta} \binom{\beta}{k} e^{-2i\phi k} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \binom{\beta}{l} e^{-2i\phi l} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} \binom{\beta}{l} e^{2i\phi(k-l)} \, \mathrm{d}\phi \end{align*}

그러나 여기서 나는 어떻게 진행해야하는지, 오히려 신원을 어떻게 사용하는지 모른다. 힌트가 있습니까?

답변

2 J.G. Nov 27 2020 at 02:08

만약 $\beta$ 음이 아닌 정수입니다. $z=e^{2i\phi}$ 이것은된다$$\oint_{|z|=1}(1+z)^{\alpha+\beta}\frac{dz}{2iz^{\beta+1}}=\pi[z^\beta](1+z)^{\alpha+\beta}=\pi\binom{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}.$$업데이트 : @Iridescent는 어떻게 우리가 복잡하게 일반화 할 수 있는지 지적했습니다. $\beta$. 적분은$2^{\alpha+\beta-1}\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+\beta}\phi\cos[(\alpha-\beta)\phi]d\phi$, 적분 자의 허수 부는 다음과 통합되기 때문에 $0$ 의 위에 $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}]$. 오래된 질문 은 이것이 실제로$\tfrac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}$.