평면형 점으로 구성된 표면 곡선은 반드시 선입니까?

Question

다음 진술을 증명하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

허락하다 $S$ 표면에있다 $\mathbb{R}^{3}$. 곡선이 있다고 가정합니다.$\gamma$ 에 $S$ 모든 점이 평면형입니다. 즉, 두 번째 기본 형태 $\alpha$ (또는 동등하게 모양 연산자) $S$ 모든 지점에서 사라집니다 $\gamma$. 이것이 의미합니까$\gamma$ 직선의 일부입니까?

이 질문은 비 직선 점근 곡선의 존재와 관련이 있습니다. $S$. 곡선이$\gamma$ 그런 $\alpha(\dot{\gamma},\dot{\gamma})=0$ 직선의 일부일 필요는 없습니다.

편집 : Arctic Char가 지적했듯이이 주장은 일반적으로 사실이 아닙니다. 모든 열린 이웃에 대해$U$ (에 $S$) 곡선 $\gamma$, 비행기가 없습니다 $P$ 그런 $U \subset P$?

Answer 1

예를 들어 $$ x(u,v) = (u, v, (u^2-v)^3). $$ 2 차 도함수는 $x_{uu}$, $x_{uv}$, $x_{vv}$ 곡선을 따라 0입니다 $v = u^2$따라서 모양 연산자는이 곡선을 따라 사라집니다. 그러나 곡선은 포물선입니다.$xy$-직선이 아닌 비행기.