폐쇄 된 양식이 있습니까? $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}?$
나는 발견했다
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=-8\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)\ dx=I\tag1.$$
Mathematica 가 찾지 못했습니다.$I$, 그래서 폐쇄 양식이 있는지 확실하지 않습니다. 나는 여기서 그것을 시도하고 있습니다.
내 마음에 떠오른 첫 번째 아이디어는 Fourier 시리즈를 사용하는 것입니다. $-\ln(\cos x)=\ln(2)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\cos(2nx)}{n}$ 그리고 우리는
$$I=8\ln(2)\underbrace{\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ dx}_{\frac32\ln(2)\zeta(2)-\frac78\zeta(3)}+8\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\pi/2}x^2 \cot x\cos(2nx)\ dx.$$
나는 여기에 갇혔다. 어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다.
증명 $(1)$
에서 여기에 우리가 있습니다
$$\arcsin^2(x)=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2{2n\choose n}}$$
바꾸다 $x$ 으로 $\sqrt{x}$ 우리는 얻는다 $$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}x^n}{n^2{2n\choose n}}=2\arcsin^2(\sqrt{x})$$
양쪽에 곱하다 $-\frac{\ln(1-x)}{x}$ 그때 $\int_0^1$ 그리고 사용 $-\int_0^1 x^{n-1}\ln(1-x)dx=\frac{H_n}{n}$ 우리는 얻는다
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=2\int_0^1\frac{\arcsin^2(\sqrt{x})\ln(1-x)}{x}dx\overset{\sqrt{x}=\sin\theta}{=}-8\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)\ dx$$
답변
$$S=-8 \text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi ^4}{90}-\frac{1}{3} \log ^4(2)+\frac{4}{3} \pi ^2 \log ^2(2)$$ 증명 $1$. 정확히 동일한 적분 에 초점을 맞춘 MSE에 대한 게시물 이 있습니다 .
증명 $2$. 정확히 동일한 합계 를 다루는 수많은 문제에 초점을 맞춘 기사 가 있습니다 .
증명 $3$. 한 번의 타격 으로이 모든 시리즈를 분쇄 하는 또 다른 기사 가 있습니다 .
작은 보너스 : $$\small \int_0^{\frac{\pi }{2}} x^3 \cot (x) \log (\cos (x)) \, dx=\frac{3}{2} \pi \text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{9}{16} \pi \zeta (3) \log (2)-\frac{\pi ^5}{120}+\frac{1}{16} \pi \log ^4(2)-\frac{1}{8} \pi ^3 \log ^2(2)$$
QED
댓글에 힌트를 주신 @ user97357329에게 감사드립니다.
책에서 거의 불가능한 적분, 합계 및 시리즈 , 페이지$247$ Eq $(3.288)$ 우리는
$$\cot x\ln(\cos x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\psi\left(\frac{n+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{n}{2}\right)-\frac1n\right)\sin(2nx)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\sin(2nx),\quad 0<x<\frac{\pi}{2}$$
그러므로,
$$\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)dx=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\int_0^{\pi/2}x^2\sin(2nx)dx\right)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\frac{\cos(n\pi)}{4n^3}-\frac{3\zeta(2)\cos(n\pi)}{4n}-\frac{1}{4n^3}\right)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\frac{(-1)^n}{4n^3}-\frac{3\zeta(2)(-1)^n}{4n}-\frac{1}{4n^3}\right)$$
$$=\frac14\int_0^1\frac{1-t}{t(1+t)}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^3}-\frac{3\zeta(2)t^n}{n}-\frac{(-t)^n}{n^3}\right)dt$$
$$=\frac14\int_0^1\left(\frac1t-\frac2{1+t}\right)\left(\text{Li}_3(t)+3\zeta(2)\ln(1-t)-\text{Li}_3(-t)\right)dt$$
$$=\frac14\underbrace{\int_0^1\frac{\text{Li}_3(t)-\text{Li}_3(-t)}{t}dt}_{\mathcal{I}_1}-\frac12\underbrace{\int_0^1\frac{\text{Li}_3(t)-\text{Li}_3(-t)}{1+t}dt}_{\mathcal{I}_2}$$ $$+\frac34\zeta(2)\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{t}dt}_{\mathcal{I}_3}-\frac32\zeta(2)\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{1+t}dt}_{\mathcal{I}_4}$$
$$\mathcal{I}_1=\text{Li}_4(1)-\text{Li}_4(-1)=\zeta(4)+\frac78\zeta(4)=\boxed{\frac{15}{8}\zeta(4)}$$
부품 별 통합으로 우리는
$$\mathcal{I}_2=\frac74\ln(2)\zeta(3)-\int_0^1\frac{\ln(1+t)\text{Li}_2(t)}{t}dt+\int_0^1\frac{\ln(1+t)\text{Li}_2(-t)}{t}dt$$
$$=\frac74\ln(2)\zeta(3)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\int_0^1 t^{n-1}\text{Li}_2(t)dt-\frac12\text{Li}_2^2(-t)|_0^1$$
$$=\frac74\ln(2)\zeta(3)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n} \left(\frac{\zeta(2)}{n}-\frac{H_n}{n^2}\right)-\frac5{16}\zeta(4)$$ $$=\frac74\ln(2)\zeta(3)-\frac54\zeta(4)-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_n}{n^3}-\frac5{16}\zeta(4)$$ 대용품
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_n}{n^3}=2\operatorname{Li_4}\left(\frac12\right)-\frac{11}4\zeta(4)+\frac74\ln2\zeta(3)-\frac12\ln^22\zeta(2)+\frac{1}{12}\ln^42$$
우리는 얻는다
$$\mathcal{I}_2=\boxed{-2\operatorname{Li_4}\left(\frac12\right)-\frac{25}{16}\zeta(4)+\frac12\ln^22\zeta(2)-\frac{1}{12}\ln^42}$$
$$\mathcal{I}_3=-\text{Li}_2(1)=\boxed{-\zeta(2)}$$
$$\mathcal{I}_4=\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{1+t}dt=\int_0^1\frac{\ln x}{2-x}dx=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}\int_0^1 x^{n-1}\ln xdx$$ $$=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^22^n}=-\text{Li}_2\left(\frac12\right)=\boxed{\frac12\ln^22-\frac12\zeta(2)}$$
우리가 마침내 얻은 모든 상자 결과를 결합
$$\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)dx=\text{Li}_4\left(\frac12\right)-\frac18\zeta(4)-\ln^2(2)\zeta(2)+\frac{1}{24}\ln^4(2)$$
우리에게주는
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=-8\text{Li}_4\left(\frac12\right)+\zeta(4)+8\ln^2(2)\zeta(2)-\frac{1}{3}\ln^4(2)$$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,}
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\ begin {align} & \ bbox [5px, # ffd] {\ int_ {0} ^ {\ pi / 2} x ^ {2} \ cot \ pars {x} \ cos \ pars {2nx} \, \ dd x} \\ [5mm] & = \ 왼쪽. \ Re \ int_ {x \ = \ 0} ^ {x \ = \ \ pi / 2} \ bracks {-\ ic \ ln \ pars {z}} ^ {\, 2} \, \ pars {{z ^ {2} + 1 \ over z ^ {2}-1} \, \ ic} z ^ {2n} \, {\ dd z \ over \ ic z} \, \ right \ vert _ {\ z \ = \ \ exp \ pars {\ ic x}} \\ [5mm] = & \ \ 왼쪽. -\, \ Re \ int_ {x \ = \ 0} ^ {x \ = \ \ pi / 2} z ^ {2n-1} \ ln ^ {2} \ pars {z} \, {z ^ {2 } + 1 \ over z ^ {2}-1} \, \ dd z \, \ right \ vert _ {\ z \ = \ \ exp \ pars {\ ic x}} \\ [5mm] = & \ \ Re \ int_ {1} ^ {0} \ pars {-1} ^ {n + 1} \, \ ic \, y ^ {2n-1} \ bracks {\ ln \ pars {y} + {\ pi \ over 2} \, \ ic} ^ {\, 2} \, {-y ^ {2} + 1 \ over -y ^ {2}-1} \, \ ic \, \ dd y \\ [2mm] & \ + \ int_ {0} ^ {1} x ^ {2n-1} \ ln ^ {2} \ pars {x} \, {x ^ {2} + 1 \ over x ^ {2}-1} \ , \ dd x \\ [5mm] = & \ \ pars {-1} ^ {n} \ int_ {0} ^ {1} y ^ {2n-1} \ bracks {\ ln ^ {2} \ pars { y}-{\ pi ^ {2} \ 4 이상}} {1-y ^ {2} \ 1 이상 + y ^ {2}} \, \ dd y \\ [2mm] & \-\ int_ {0 } ^ {1} x ^ {2n-1} \ ln ^ {2} \ pars {x} \, {1 + x ^ {2} \ over 1-x ^ {2}} \, \ dd x \\ [5mm] & = \ pars {-1} ^ {n} \, \ mathcal {I} ''\ pars {2n-1}-\ pars {-1} ^ {n} \, {\ pi ^ {2 } \ over 4} \, \ mathcal {I} \ pars {2n-1}-\ mathcal {J} ''\ pars {2n-1} \\ & \ \ mbox {where} \ quad \ left \ {\ 시작 {array} {rcl} \ ds {\ mathcal {I} \ pars {\ nu}} & \ ds {\ equiv} & \ ds {\ int_ {0} ^ {1} y ^ {\ nu} \, {1-y ^ {2} \ over 1 + y ^ {2}} \, \ dd y} \\ [2mm] \ ds {\ mathcal {J} \ pars {\ nu}} & \ ds {\ equiv } & \ ds {\ int_ {0} ^ {1} \ pars {y ^ {\ nu}-1} \, {1 + y ^ {2} \ over 1-y ^ {2}} \, \ dd y} \ end {array} \ right. \ 끝 {정렬}는
평가하자 일부 우리가 우리의 주요 결과를 평가해야 적분을 :
$\ds{\Large\mathcal{I}\pars{\nu}:\ ?.}$
\ begin {align} \ mathcal {I} \ pars {\ nu} & \ equiv \ int_ {0} ^ {1} y ^ {\ nu} \, {1-y ^ {2} \ over 1 + y ^ {2}} \, \ dd y = \ int_ {0} ^ {1} {y ^ {\ nu}-2y ^ {\ nu + 2} + y ^ {\ nu + 4} \ over 1-y ^ {4}} \, \ dd y \\ [5mm] & = {1 \ over 4} \ int_ {0} ^ {1} {y ^ {\ nu / 4-3/4}-2 년 ^ {\ nu / 4-1/4} + y ^ {\ nu / 4 + 1/4} \ 1 이상-y} \, \ dd y \\ [5mm] & = {1 \ 4 이상} \ bracks {% 2 \ int_ {0} ^ {1} {1-y ^ {\ nu / 4-1/4} \ over 1-y} \, \ dd y-\ int_ {0} ^ {1} {1-y ^ { \ nu / 4-3/4} \ 1 이상-y} \, \ dd y-\ int_ {0} ^ {1} {1-y ^ {\ nu / 4 + 1/4} \ 1 이상-y } \, \ dd y} \\ [5mm] & = {1 \ over 4} \ bracks {% 2 \ Psi \ pars {{\ nu \ over 4} + {3 \ over 4}}-\ Psi \ pars {{\ nu \ 4 이상} + {1 \ 4 이상}}-\ Psi \ pars {{\ nu \ 4 이상} + {5 \ 4 이상}}} \\ [5mm] & =-\, {1 \ over \ nu + 1}-{1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 1 \ over 4} + {1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 3 \ over 4 } \\ [1cm] & \ \ left \ {\ begin {array} {rcl} \ ds {\ mathcal {I} \ pars {2n-1}} & \ ds {=} & \ ds {-\, { 1 \ over 2n}-{1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {n \ over 2} + {1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {n + 1 \ over 2}} \\ [2mm ] \ ds {\ mathcal {I} ''\ pars {2n-1}} & \ ds {=} & \ ds {-\, {1 \ 4 이상 n ^ {3}}-{1 \ over 32} \, \ Psi \, ''\ pars {n \ over 2} + {1 \ over 32} \, \ Psi \, ''\ pars {n + 1 \ over 2}} \ end {array} \ right. \ end {정렬}
$\ds{\Large\mathcal{J}\pars{\nu}:\ ?.}$ \ begin {align} \ mathcal {J} \ pars {\ nu} & \ equiv \ int_ {0} ^ {1} \ pars {y ^ {\ nu}-1} \, {1 + y ^ {2} \ over 1-y ^ {2}} \, \ dd y = {1 \ over 2} \ int_ {0} ^ {1} {-y ^ {-1/2}-y ^ {1/2} + y ^ {\ nu / 2-1/2} + y ^ {\ nu / 2 + 1/2} \ over 1-y} \, \ dd y \\ [5mm] & = {1 \ over 2} \ bracks {\ Psi \ pars {1 \ over 2} + \ Psi \ pars {3 \ over 2}-\ Psi \ pars {{\ nu \ over 2} + {1 \ over 2}}-\ Psi \ pars { {\ nu \ over 2} + {3 \ over 2}}} \\ [5mm] & = 1-\ gamma-2 \ ln \ pars {2}-{1 \ over 2} \, \ Psi \ pars { \ nu + 1 \ over 2}-{1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 3 \ over 2} \\ [1cm] \ mathcal {J} \, ''\ pars {2n-1 } & =-\, {1 \ 8 이상} \, \ Psi \, ''\ pars {n}-\, {1 \ 8 이상} \, \ Psi \, ''\ pars {n + 1} = -\, {1 \ over 4} \, \ Psi \, ''\ pars {n}-{1 \ over 4n ^ {3}} \ end {align}