표본 분산 추정기에 대한 Cramér-Rao 하한에 대한 규칙 성 조건을 어떻게 설정합니까?

Question

허락하다 $X_1,X_2,\ldots,X_n \sim \text{IID } f(\theta)$ 모수가있는 분포의 무작위 표본 $\theta$ 그리고하자 $S^2(\mathbf{x}_n) \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x}_n)^2$표본 분산을 나타냅니다. Cramér–Rao 하한 , 즉 다음과 같은 규칙 성 조건을 확인하고 싶습니다 .

$$\begin{align} &(1) & & \mathbb{V}_\theta(S^2(\mathbf{X}_n))< \infty, \\[10pt] &(2) & & \frac{\partial}{\partial \theta} \int S^2 (\mathbf{x}_n) f(\mathbf{x}_n | \theta) \ dx = \int S^2(\mathbf{x}_n) \frac{\partial f}{\partial \theta} (\mathbf{x}_n | \theta) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

나는 이렇게 말할 것이다 $(1)$ 왜냐하면 $S^2$ 유한하지만 무엇을 해야할지 모르겠습니다. $(2)$. 당신이 나를 도울 수?

Answer 1

사실, 조건 $(1)$랜덤 변수의 분포에 중요한 모멘트 조건을 부과하지 않는 한 만족스럽지 않습니다. IID 랜덤 변수에 대한 표본 분산 의 분산은 알려진 형식을 가지며 기본 분포에 유한 첨도가있는 경우에만 유한합니다. 그래서 조건$(1)$ 이 경우에만 만족합니다.

질환 $(2)$미분 연산자를 적분 내부로 가져올 수있는 허용 여부와 관련된 조건입니다. 적분의 미분에 대한 일반 규칙은 Leibniz 적분 규칙에 의해 주어지며 , 기본 분포의 지원이 모수에 의존하지 않는 경우 규칙 성 조건이 유지됩니다.$\theta$.