표기법에 관한 질문 $\equiv$ 과 $\iff$
이 두 용어의 표기법은 어떤 차이를 만들까요? $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\equiv𝑥∈𝑌) $$
답변
공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.
$X=Y \equiv_{Def}\forall(x) ( x\in X \leftarrow\rightarrow x\in Y)$
(즉, X = Y가 논리적으로 (정의에 의해) X와 Y가 정확히 동일한 요소를 갖는다 고 말하는 것과 동일하다고 말하는 것입니다.)
와
- $\equiv_{Def}$ 논리적 동등성 표시 (보다 정확하게는 정의 별 동등성)
과
- $\leftarrow\rightarrow$ 물질적 동등성 또는 물질적 이중 함축을 나타냅니다.
첫 번째 관계는 메타 론적 관계입니다. 두 번째는 객체 언어에 속합니다.
논리적 동등성과 물질적 동등성의 관계는 다음과 같습니다. $\phi$ 과 $\psi$ 재료 조건부 일 때 논리적으로 동등합니다. $ (\phi\leftarrow\rightarrow\psi)$ 논리적으로 가능한 모든 경우에 해당됩니다.
- IFF 중간에보다 정밀 동치, 등가별로 정의된다. 정의에 의한 동등성은 일반적인 논리적 동등성과 동일한 방식으로 작동합니다 (즉, 가능한 경우를 고려하여 서로 다른 진리 값을 갖지 않는 것이 불가능한 경우에만 두 명제가 동등합니다).
참고 : 동등성은 LHS를 RHS로 대체 할 수 있으므로 흥미 롭습니다 (반대의 경우도 마찬가지).
IFF 왼쪽에있는 동치 있지만 재료 이중 의미 아니다. 두 명제는 동일한 진리 값을 갖는 사실이 실제로 발생하는 경우 또는 선호하는 경우 우리가 첫 번째 참과 두 번째 거짓을 갖지 않는 사실이 실제로 발생하는 경우와 상호 적으로) 실질적으로 동등합니다.
확장 성 원칙의 적용을 고려하십시오.
H를 심장이있는 동물의 집합이고 K를 신장이있는 동물의 집합이라고합시다.
조건부 재료 $\forall(x) ( x\in H \leftarrow\rightarrow x\in K)$ 사실이다.
집합 평등의 정의에 따르면, 바로 위의 공식은 두 집합이 같다고 말하는 것과 논리적으로 동일합니다. 즉, 물질 조건이 유지되는 동안 논리적으로 불가능한 것입니다 (정의가 지정되면). $H=K$ 그렇지 않으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
그러나 이것은 심장을 갖는 것이 신장을 갖는 것과 논리적으로 동등하다고 주장하는 것은 아닙니다. 사실 두 세트가 정확히 같은 요소를 가지고 있지만 동물이 심장이있는 동물이 신장없이 (또는 그 반대의 경우) 여전히 논리적으로 가능하다는 사실은 사실적으로 발생합니다.
간단히 말하면 : 세트 ID는 논리적으로 공동 확장 성과 동일합니다. 그러나 그 자체로는 사실적이거나 우발적 일 때에도 공 확장 성이 유지됩니다. 따라서 LHS에 대한 조건부 자료.
이를 읽는 한 가지 방법은 단일 공식으로, 즉 "조건"에 따라 두 세트가 동일합니다.
이 경우 동일한 개념에 대해 두 개의 서로 다른 기호를 사용하는 것은 불일치입니다.
또 다른 읽기는 그것을 "약어"로 간주하는 것입니다. $X=Y$ 정확히 언제 "조건"이 유지되는지.
이 경우 가장 왼쪽 "iff"를 기호로 변환해도 이점이 없습니다. 약어는 객체 언어의 공식이 아니라 메타 언어의 진술이며 "공식화"할 필요가 없습니다.