표준 모델은 $\sf ZFC$ 전이하지 않고 모든 서수를 포함합니까?
ZFC 의 표준 모델 이란 집합 또는 적절한 클래스가 될 수 있고 요소 관계가 진정한 요소 관계인 ZFC 모델을 의미합니다. ZFC 의 전이 모델은 전이 클래스이기도 한 ZFC의 표준 모델입니다. Mostowski 붕괴 기본형에 따르면, ZFC의 모든 표준 모델은 고유 한 동형을 통해 ZFC의 고유 한 전이 모델에 동형입니다. 내 질문은 ZFC의 전이 모델을 항상 표준이지만 비 전이 모델 인 ZFC로 "uncollapse"할 수 있습니까? 예를 들어, ZFC 동형의 비 전이 표준 모델이 최소 내부 모델에 있습니까?$L$? 또한 최소 내부 모델과 동형 인 모든 서수를 포함하는 ZFC의 비 전환 표준 모델이 있습니까?$L$?
편집 : 작성된 유용한 의견을 감안할 때 (처음 두 질문에 대한 대답은 예입니다), 남은 유일한 질문은 마지막입니다. 모델 $L$? 그렇지 않다면$L$최소 내부 모델 일뿐만 아니라 모든 서수를 포함하는 최소 표준 모델입니다. 더 일반적으로 모든 서수를 포함하는 ZFC의 비전 이적 표준 모델이 있습니까?
답변
Rodrigo Freire가 의견에서 지적했듯이 이전 답변이 잘못되었으므로 이전 답변을 삭제했습니다.
실제로 서 수가 서수의 초기 세그먼트 인 비전이 모델을 가질 수 있습니다. 그렇게 말해봐$M$ 다음과 같은 전이 모델입니다. $M\neq V_\alpha$ 어떠한 것도 $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (어디 $V_{\rm Ord}$단지 전체 우주입니다). 그런 다음 가장 작은$\alpha$ 이러한 $\alpha\in M$ 과 $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
밝히다 $N$ 재귀 적으로 대체하여 얻은 모델 $\mathcal P(\alpha)^M$ 으로 $\mathcal P(\alpha)$, 또는이 컬렉션에 새 세트 하나를 추가 할 수도 있습니다. 그때$N$ 표준 모델이고 서수는 서수의 초기 세그먼트이지만 전이 적이지는 않습니다.
우리가 가져 가면 $M=L$ 과 $V\neq L$, 그럼 우리는 물론 모델을 얻을 수 있습니다 $V=L$ 그것은 아니다 $L$.
Asaf Karagila가 질문에 답했지만 저는 최소한의 $L$ 마지막 단락에서 Jesse Elliot가 물은 이전 답변의 방향으로.
첫째, 집합 이론은 전이 모델에 동형이기 때문에 (이 질문의 의미에서) 표준 모델을 많이 사용하지 않았다고 생각합니다. 그래서 우리는 그들에게별로 익숙하지 않습니다. 그러나 실제로 전이 모델을 "축소 해제"하는 것은 쉽습니다.$M$: 요소 가져 오기 $a\in M$ 전 이적으로 모든 곳에서 $a\cup \left\{a\right\}$. 만약$a$ 서 수가 아닌 경우 결과 표준 모델은 다음 서수를 공유합니다. $M$.
이제 좀 더 긍정적 인 방향으로 부분적 최소 성 결과를 조사해 보겠습니다. $L$:
-허락하다 $M\subseteq L$서 수가 실제 서 수가되도록 표준 모델이어야합니다. 그때$M=L$ 건설 가능한 순서 $Od$ (Shoeenfield, ML, 272 페이지 참조) $L^M$.
증거 : 먼저$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$서 수가 실제 서수 인 표준 모델입니다. 만약$L^M$ 전 이적 이었다면 다음을 포함합니다. $L$, 그 후 $M$ 같을 것이다 $L$. 그래서 우리는$L^M$ 전 이적이지 않습니다.
허락하다 $K$ 전 이적 붕괴 $L^M$. 이미지$K$ 전이 모델입니다 $ZF$ 모든 서수를 포함하고 $L$, 그래서 $L$. 허락하다$x$ 전이성에 대한 최소한의 반례 $L^M$. 그때$K(x)\neq x$, 그래서 $Od(K(x))\neq Od(x)$ (그것을 상기 $M\subseteq L$, 그 후 $Od$ 의 모든 요소에 대해 정의됩니다. $M$주사제 임). 이후$K$ 동형은 $L^M$ ...에 $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. 절대성 가설에서$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
따라서,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
그래서 $Od(x)$ 이동하는 서수입니다. $K$. 이것은 서수에 대한 가설과 모순된다.$M$ 정확히 서수입니다.