QFT에서 쿨롱 전위의 푸리에 변환

Dec 01 2020

저는 입자 물리학의 마스터이고 쿨롱 잠재력을 찾고 싶습니다. $V(r)$ ...에서 $\tilde{V}(p)$에서 슈워츠 - 양자 필드 이론 및 표준 모델 I는 무슨$\tilde{V}(p)$ 16.58 관계에서 : $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ 어느 $e_{R}$ 재 정규화 청구됩니다. $V(r)$ is : $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ 그리고 먼저 $d_{0}p$ 상부 윤곽 및 : $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ 그래서: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ 쓰다 $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ 우리는 : $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ 취하다 $dcos(\theta)$ 적분하고 우리는 다음을 얻었습니다. $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ 적분으로 돌아가서 마지막으로 다음을 얻었습니다. $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ 그것은 발산하고 그렇지 않습니다 $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ 누군가 내가 실수 한 곳을 도와주고 길을 보여줄 수 있습니까?

답변

2 friciwolf Dec 01 2020 at 22:47

광자 장의 경우 3D 푸리에 공간에서 역변환을 수행해야합니다. $p^2 = 0$, 따라서 시작하는 원래 표현이 의미가 없습니다. 그 외에도 고전적인 Coulomb 필드는 3D 변환에 대한 또 다른 힌트 인 시간에 의존하지 않습니다.

Schwartz의 책에서 이것은 Ch. 3.4.2 (쿨롱 전위).

그의 결과를 요약하면 :

$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$

마지막 단계에서 Dirichlet 적분의 알려진 결과를 사용했습니다.

$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$

도움이 되었기를 바랍니다.