QM에서 연산자의 지수에 대한 엄격한 정의?

Aug 21 2020

제가 수강 한 Quantum Mechanics 과정에서 연산자 지수를 간단히 다음과 같이 정의했습니다. $$ \mathrm{e}^{\hat A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \hat A^n \: . $$ 이것은 경계 연산자에 대한 좋은 정의 일 것입니다. $\hat A \in B(\mathcal H)$ 힐베르트 공간에 $\mathcal H$, 부분 합이 코시 시퀀스를 형성하고 $B(\mathcal H)$ 따라서 합계는 항상 일부 연산자로 수렴됩니다. $\mathrm{e}^{\hat A} \in B(\mathcal H)$. $$ \hat S_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} \hat A^k, \quad \left\lVert \hat S_n - \hat S_m \right\rVert = \left\lVert \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A \right\rVert^k \to 0 $$

그러나 우리는 이것이 무한한 연산자에 대해 잘 정의되어 있는지 여부에 대해 논의하지 않았습니다. 예를 들어 무한소 변환에서 연산자를 "생성"할 때 (예 :이 질문 : [1] ) 무한 연산자의 지수를 취하는 것은 드문 일이 아니지만 .

내 질문은 다음과 같습니다.

이 정의는 무한 연산자에도 맞습니까?
그렇지 않다면 올바른 정의는 무엇입니까?
어떤 속성이 $\hat A$ 잘 정의 된 지수를 갖기 위해 필요합니까?
만약 $\hat A$ 정의됩니다 $D(\hat A)$ 도메인은 무엇입니까 $\mathrm{e}^{\hat A}$?

답변

11 ACuriousMind Aug 21 2020 at 05:59

연산자에 함수를 적용하는 이론의 수학적 이름은 함수 미적분 이며, 예를 들어 Stone의 정리와 관련하여 위치 및 운동량 연산자의 지수에 대해 엄격하게 이야기하고자 할 때 일반적으로 사용되는 이름은 Borel 함수 미적분입니다. . 모든 일반 연산자, 즉 물리학자가 다음과 같이 쓸 스펙트럼 측정 값을 얻기 위해 스펙트럼 정리의 일부 버전을 적용 할 수있는 모든 연산자에 대해 작동합니다.$\int a \lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$ ...에 대한 $\lvert a\rangle$ 일부 일반 연산자의 "고유 상태" $A$.

운영자 적용 $A$ 신청하는 것과 같습니다 $\int a\lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$, 그래서 적용 $f(A)$ 신청하는 것과 같습니다 $\int f(a)\lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$. 수학적으로 어려운 점은이 수정 된 스펙트럼 측정에 의해 설명 된 연산자의 존재와 고유성을 증명하는 것입니다. 예. Simon과 Reed의 책에는 물리적 응용에 필요한 기능적 미적분의 정의가 명확하다는 증거가 있어야합니다.

결과 연산자의 영역은 다음과 같은 경우 전체 힐베르트 공간입니다. $f$ 제한되어 있고 $f$ 무한한 경우 Hilbert 공간의 하위 집합입니다. $\int f(a)\lvert a\rangle \langle a\vert \psi\rangle\mathrm{d}a$수렴합니다. 다시 한 번$\lvert a\rangle$ 실제로 Hibert 공간 내에 존재하지 않으며 $a \lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$그냥 한 불가분 식 스펙트럼 측정 값을 나타내는이.

22 ValterMoretti Aug 21 2020 at 15:26

이미 좋은 대답이 있더라도 일부 세부 사항을 완전히 수정하기 위해 추가로 말하고 싶습니다.

이 정의는 무한 연산자에도 맞습니까?

아니요, 잘못된 수렴 개념을 사용했기 때문에 본질적으로 작동하지 않습니다.

그러나 다음과 같은 경우 증명할 수 있습니다. $A$ — 조밀 한 도메인 $D(A)$— 닫혀 있고 정상 (*) — 자체 인접 및 단일 케이스 포함 — 조밀 한 부분 공간이 있습니다.$D_A\subset D(A)$분석적 벡터 라고하는 벡터 의 중요한 변경 사항에도 공식이 여전히 유효합니다.

(a) 연산자는 이러한 벡터에 적용되어야합니다.
(b) Hilbert 공간 의 토폴로지를 사용해야합니다 (이제 시리즈는 연산자가 아닌 벡터입니다 ).$$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi\:, \quad \forall \psi \in D_A .$$

(매개 변수 $t\in \mathbb{C}$ 충분히 작은 이웃에서 촬영할 수 있습니다. $0$, 독립적 $\psi\in D_A$.)

나는 시리즈가 지수 의 정의 가 아니라는 것을 강조합니다. 위의 동일성은 두 개의 독립적으로 정의 된 수학적 객체의 동일성입니다.

그러나 해당 계열은 해당 도메인 의 지수를 동등하게 정의하는 데 사용할 수 있으며이 정의는 아래의 제한되지 않은 연산자에 대한 정의와 일치합니다.

그렇지 않다면 올바른 정의는 무엇입니까?

만약 $A: D(A) \to H$, 조밀하게 정의되고 닫혀 있고 정상이면 스펙트럼 측정을 허용합니다. $P: B(\mathbb{C}) \to B(H)$, 어디 $B(\mathbb{C})\ni E$는 IS 보렐은$\sigma$-algebra 에$\mathbb{C}$ 그리고 각각 $P(E)$인 직교 프로젝터 에서이$H$.

우리는 결국 정의 할 수 있습니다 (아래에 정의 된 적절하게 조밀 한 도메인에서) $$f(A) := \int_{\mathbb{C}} f(\lambda) dP(\lambda)\tag{1}$$모든 Borel 측정 가능 기능에 대해 $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$.

말했다의 지수 $A$ 이런 식으로 정의됩니다. $f$ 지수지도를 위해.

만약 $A$이다 selfadjoint는 ,$B(\mathbb{C})$ 에 의해 repalced 수 있습니다 $B(\mathbb{R})$ 외부부터 $\mathbb{C}$ 스펙트럼 측정이 사라집니다.

실제로 스펙트럼 측정의 지원 $A$(밀집, 폐쇄, 정상)은 항상 스펙트럼 과 일치합니다. $\sigma(A)$ 의 $A$.

어떤 속성이 $\hat A$ 잘 정의 된 지수를 갖기 위해 필요합니까?

두 정의가 모두 적합한 경우 실제로 일치하는 두 가지 경우가 있습니다.

(a) 만약 $A$지수는 모든 곳에서 정의되고 제한되며 지수는 연산자 표준과 관련하여 계열 확장에 의해 자동으로 잘 정의 되며이 확장은 바로 정의로 사용될 수 있습니다.
(b) 만약 $A$되고 있지 사방 경계 / 정의는 보렐 기능 계산법에 기초한 이전 정의 (1)을 적용 할 때 $A$ 조밀하게 정의되고, 정상이며, 닫혀 있습니다. 특히 selfadjoint입니다.

후자의 정의 (b)는 전자 (a)와 일치합니다. $A$ 예를 들어 $A$인 단위 .

그러나 처음에 선언했듯이 시리즈 확장은 분석 벡터에서 작업하고 다음의 표준을 사용하는 조밀하게 정의 된 폐쇄 형 정규 연산자에 대해 유효합니다. $H$(기술적으로 강력한 운영자 토폴로지 ).

내가 아는 한 이러한 (밀도가 높고, 폐쇄적이며, 정상적 임) 제한없는 연산자에 대한 일관된 이론을 생성하는 최소한의 요구 사항입니다.

만약 $\hat A$ 정의됩니다 $D(\hat A)$ 도메인은 무엇입니까 $\mathrm{e}^{\hat A}$?

도메인 $f(A)$ (1)에서와 같이

$$D(f(A)) = \left\{\psi \in H \:\left|\: \int_{\mathbb{c}} |f(x)|^2 d \mu^A_\psi(x)< +\infty \right.\right\}\tag{2}$$ 어디 $$\mu^A_\psi(E) := \langle \psi |P(E) \psi\rangle$$ 표준 양의 유한 보렐 측정 값입니다.

만약 $A$ 자기 인접 $\mu^A_\psi$ 지원됩니다 $\mathbb{R}$ 실제로 $\sigma(A)$. 그곳에,$f(x) = \exp x$ 제한되지 않습니다 ( $\sigma(A)$ 어떤 메나가 $A$ 제한됨), 그래서 $D(f(A)) \subsetneq H$.

그러나 대신 고려한다면 $f(x)= \exp ix$ 과 $A$ selfadjoint, 그럼 $f$ 에 의해 경계 $1$ 의 위에 $\mathbb{R}$. 이후$\mu^A_f(\mathbb{R}) = ||\psi||^2 < +\infty$, 그것은 (2)에서 밝혀졌습니다. $$D(f(A)) = H\:.$$

만약 $E \subset \mathbb C$ Borel 세트이고 $\chi_E(x)=1$ ...에 대한 $x\in E$ 과 $\chi_E(x)=0$ 그렇지 않으면 $$P_E := \int_{\mathbb C} \chi_E(x) dP^{(A)}(x)$$ 닫힌 부분 공간에 직교하는 프로젝터 $H_E$.

분석 벡터 군 $\psi$ 따라서 만족 $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi$$(유한) 스팬이 조밀 한 것은 다음과 같이 얻어진다. Borel 세트 수업 받기$E_N\subset \mathbb C$, 어디 $N\in \mathbb N$, 모든 $E_N$ 경계가 있고 $\cup_N E_N = \mathbb C$. 상기 분석 벡터 계열은 모든 벡터로 구성됩니다.$\psi \in H_{E_N}$ 모든 $N \in \mathbb N$.

마지막으로 언급 할 때 QM에서 어느 정도 관련성이있는 거의 모든 연산자가 조밀하게 정의되고 닫혀 있음을 강조합니다.