Ramanujan의 Master Theorem의 반대도 사실입니까?
Ramunajan의 Master Theorem 은 복소수 함수가$f(x)$ 형태의 확장이 있습니다
$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$
다음 Mellin 변환 변환 의$f(x)$ ~에 의해 주어진다
$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$
여기 $\varphi(s)$ 일부 기능 (분석적 또는 통합 가능)입니다.
자, 이것의 반대는 어떻습니까? Mellin 변환이$f(x)$ 와 동등하다 $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$, 그렇다면 사실입니까? $f(x)$ 위에 주어진 형태로 무한 확장이 있습니까?
Wikipedia 또는 다른 곳 에서이 질문에 대해 아무것도 찾을 수 없습니다.
답변
마스터 정리에 대한 부분적인 대화의 경우 $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ 그때 $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ 극 $\Gamma$ 단순하고 양수가 아닌 정수이므로 정수의 잔류 물 $-t\le0$ 이다 $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ 따라서 $\varphi$ 특이점이없고 양이 아닌 정수에 뿌리가없는 경우 잔류 정리는 $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ 이것은 원래 진술입니다.
Berndt의 Ramanujan의 분기 별 보고서 1 에서 다음과 같이 언급됩니다.
첫 번째 보고서의 마지막 섹션에서 Ramanujan은 Master Theorem에 대한 대화 정리 유형이 유지 된다고 가정 하여 네 가지 기능에 대한 특정 확장을 유도 합니다. 더 구체적으로, 그는 적분 값에서 적분에 대한 멱급수를 결정합니다. 사실, 마스터 정리에 대한 Ramanujan의 대화는 Mellin 변환에 대한 반전 공식을 따릅니다. Ramanujan이 공식적으로 진행했지만 그가 얻은 모든 결과는 실제로 정확합니다.
(강조 광산)
고려되는 네 가지 기능은 다음과 같습니다.
$\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ 어디 $p_*$ 의 긍정적 인 루트입니다 $p^2-p-x$, 기부 $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;
$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$, 기부 $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;
$\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ 어디 $a\ge0$, $n>0$ 과 $x$ 해결하다 $\log x=ax$, 기부 $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;
$\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ 어디 $x$ 해결하다 $aqx^p+x^q=1$ 와 $a>0$, $0<q<p$ 과 $0<pr<n$, 기부 $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$.
이 모든 경우에 분명히 $\varphi$ 전체 왼쪽 평면에서 분석적이지는 않지만 감마 항을 $\Gamma(-s)$ 정체성이 여전히 유지되는 이유 일 수 있습니다.
참고
[1] Berndt, BC (1984). Ramanujan의 분기 별 보고서. London Mathematical Society의 게시판 . 16 (5) : 449-489.