Riemann의 수치 적 또는 분석적으로 알려진 솔루션의 밀도 및 분포 $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

우리는 리만 가설에 대한 추측이 사소하지 않은 0이 켜져 있다는 것을 압니다. $$(1/2 + r i)$$ 일부 $r \in \mathbb{R}$ Riemann zeta 함수의.

내 질문은 수치 적으로 또는 분석적으로 알려진 솔루션의 밀도와 분포 에 대해 얼마나 많이 알려져 있는지 입니다.$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

관련 게시물을 찾았는데 약 8 년 전 이었으니 더 나은 업데이트가 있을까요?

Riemann zeta 함수의 중요하지 않은 0의 평균 밀도

Answer 1

겸손하게 생각하는 핵심 논문은 1 년에 출판 된 논문입니다. $2014$작성자 : G.Franca 및 A.LeClair . 특히 매우 훌륭하고 간단한 근사치를 제공합니다 (방정식$(229)$ 연결된 논문에서). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ 어디 $W(.)$ 램버트 함수입니다.

몇 가지 계산을 반복합니다. $n=10^k$, 우리는 $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Mathematica 8.0.1 그램 포인트에 대한 Eric Weisstein의 근사 유도 :

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Franca-LeClair 포인트를 제공하는 Eric Weisstein의 근사값의 Mathematica 8.0.1 파생 수정 :

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

Riemann zeta 0에 대한 정확한 점근선을 구하는 데있어 기본적인 어려움은 Riemann-Siegel theta 함수가 반전 할 수 없다는 것입니다. 사용자 reuns는 프랑스 Wikipedia에 따르면 Riemann zeta 0에 대한 정확한 점근은 약 120 년 동안 알려져 왔으며 정확한 점근은 Riemann-Siegel theta 함수의 역함수라고 지적했습니다.