색 다항식의 변환을 포함하는 한계

Question

나는 색채 다항식을 가지고 놀았습니다 (여기서는 $\chi_G(x)$) 그리고 나는 다음과 같은 추측을했다.

허락하다 $(G_n)_{n \ge 1}$ 일련의 그래프 $v(G_n) \to \infty$ ($v(G_n)$ 의 정점 수를 나타냅니다. $G_n$) 및 $e(G_n) \to \infty$ ($e(G_n)$ 가장자리의 수를 나타냅니다 $G_n$).

각각 $x \neq 0$, 다음의 색 다항식 변환을 정의 해 보겠습니다. $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$

추측은 각 고정 실수에 대해 $x \neq 0$, 우리는 $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ 같이 $n$ 무한대로 이동합니다.

몇 가지 그래프 시퀀스에 대한 추측을 확인했습니다. 예를 들어, $G_n$ 완전한 그래프 $K_n$, for $G_n$ 나무가되는 $n$ 정점 및 $G_n$ 모음집 $n$ 독립 모서리 (일치 $2n$ 정점).

이것이 잘 알려진 것인지 아는 사람이 있습니까?

추신 : 조건이 있는지 확실하지 않습니다 $v(G_n)$ 과 $e(G_n)$올바른 것입니다. 이에 대한 의견도 환영합니다.

Answer 1

여기 누군가가 엄격하게 만들 수있는 경험적 주장이 있습니다. 나는 쓴다$v_n=v(G_n)$ 과 $e_n=e(G_n)$. 허락하다$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ 나는 고정 주장 $k\geq 0$, $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ (예를 들어, Broken Circuit Theorem에 의해 $c_{n,v_n-k}$ 가장자리를 더 추가할수록 증가합니다. $G_n$) $c_{n,v_n-k}$ 그 값에 의해 아래로 제한됩니다. $G_n$ 나무이고, $G_n$완전한 그래프입니다. 주장 된 결과는 나무와 완전한 그래프에 대해 쉽게 검증됩니다 (후자의 경우 첫 번째 종류의 스털링 수에 대해 알려진 점근 법을 사용함). 더 직접적인 증거가있을 수 있지만, 어떤 경우 든 한도와 합계를 바꾸는 것을 정당화하는 것에 대해 걱정하지 않는다면$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$