생성 기능 운동에 대한 해결책 1a.

Question

질문은 ~이야:

1. 다음 각 시퀀스의 일반적인 멱급수 생성 함수를 간단하고 닫힌 형식으로 찾으십시오. 각각의 경우 시퀀스는 모두에 대해 정의됩니다.$n\geq0$. (ㅏ)$a_n=n$

이것은 기능입니다 $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, 나는 다음과 같이 다시 작성합니다. $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

각 용어는 기하학적 시리즈이므로 다음과 같이 썼습니다.

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

따라서 내 대답은 $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. 하지만 책 뒷면에있는 답안은 답이 "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". 내 생성 함수가 정답 키의 RHS처럼 보이지만 LHS가 무엇을 의미하는지 이해하지 못합니다. 여기에 누락 된 것이 있습니까?

Answer 1

그만큼 $LHS$찾은 것과 동일한 생성 함수를 얻는 또 다른 방법입니다. 그것은 말한다 :$1/(1-x)$ 다음 곱하기 $x$.