사이의 선형 endomorphism $V$ 및 이중 $V$

Question

허락하다 $V$ 필드 위의 유한 차원 벡터 공간 $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

알다 $\operatorname{End}(V)$ 선형 동형 $\operatorname{End}(V^*)$.

내 시도 : 유한 차원 벡터 공간 이후 $\dim V^*=\dim V$

그래서 그들은 다음과 같이 선형 적으로 동형이됩니다. $\psi:V\to V^*$.

그래서 주어진 요소 $T\in \operatorname{End}(V)$ 우리는 찾을 수있어 $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ 선형 endomorphism인지 확인하기 쉽습니다.

그리고지도는 이후에 있습니다. $\hat{T}$ 우리는 건설 할 수 있습니다 $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. 이후 주사제$\hat{T} = 0$ 암시 $T = 0$ 0 맵이므로 사소한 커널이 있습니다.

마지막으로 우리는 $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$또한 선형입니다. 즉$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ 정의에 의해 $\hat{T}$ 유지합니다.

내 증명이 맞습니까?

Answer 1

귀하의 증거가 정확합니다. 그러나 사이에 또 ​​다른 벡터 공간 동형이 있습니다.$\operatorname{End}(V)$ 과 $\operatorname{End}(V^*)$ 동형이 필요하지 않은 $V \rightarrow V^*$. 즉,지도$A \in \operatorname{End}(V)$ ...에 $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ 정의함으로써 $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. 여기,$ x\in V$ 과 $\phi \in V^*$.

Answer 2

지도를 원합니다 $T\colon V\to V$ 선형지도로 $V^*\to V^*$ 이를 수행하는 명백한 방법이 있습니다. $T$ 그것의 전치로 $T^*$. 그러나 이것은 정의 antiisomorphism을 하기 때문에,$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

그것을 사용하여 동형을 얻습니다. $\dim V=n$, 당신은 얻을 $V\cong M_n(K)$ (반지 $n\times n$행렬) 기준 선택을 통해. 동형의 전이가 끝납니다.