삼각 측량 공동 도메인 자체가 삼각 측량 된 펑터 범주입니까?
나는 다음 주장이 사실이라고 상당히 확신한다 (그러나 나는 아직 팔면체 공리를 검증하지 않았다고 고백 할 것이다) :
허락하다 $T$ 삼각 측량 범주이고 $C$모든 카테고리 (세트 이론가 친구들에게 놀라지 않도록 작게 말합시다). 그런 다음 펑터 범주$C \to T$ T에서 자연 삼각형 구조를 상속받습니다.
"자연"과 "상속"이란 시프트 맵이 $[1]$ functor 카테고리에서 $F:C \to T$ 펑터에게 $F[1]$ 만족스러운 $F[1](c) = F(c)[1]$ 각 개체에 $c$ 의 $C$; 유사하게, 펑터의 구별되는 삼각형$$F \to G \to H \to F[1]$$ 정확히 각 개체 위에있는 $c$ 의 $C$ 우리는 구별되는 삼각형이 $T$ 형태의 $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
주요 질문은 이것이 표준 책이나 종이에 쓰여 졌는지 여부입니다 (예를 들어 Gelfand-Manin에서는 찾을 수 없었습니다). 아마도 그것은 너무 명백한 것으로 간주되어 초등 운동으로 강등 될 것입니다. 주로 저는 t- 구조와 하트를 물려받는 것에 관심이 있습니다.$T$ 펑터 카테고리로 $C \to T$, 그리고 그러한 문제를 다루는 사용 가능한 참고 자료에 감사드립니다.
답변
진술은 거짓입니다.
예를 들어 $C=[1]\times [1]$ 정사각형이고 $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$스펙트럼의 동형 범주가됩니다. 이제 사각형을 고려하십시오.$X$ 와 $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$, 다른 값은 0이고 다른 정사각형은 $Y$ 와 $Y(1,0) = S^1$ 과 $Y(1,1) = S^0$. 지도 가져가$S^2 \to S^1$ 과 $S^1 \to S^0$ 되려고 $\eta$, 자연스러운 변형을 고려 $X \to Y$ 2를 곱하여 주어집니다. $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
이 맵에 코 파이버가 있으면 초기 정점에서 최종 정점까지 맵을 얻을 수 있습니다. $S^3 \to S^0$. 사각형 한 방향을 따라 가면 Toda 브래킷에 대한 대표자가 있음을 알 수 있습니다.$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. 다른 방향에 따라 0을 통해 인수 분해합니다. 하지만이 Toda 브래킷은 클래스로 구성됩니다.$2\nu$ 과 $-2\nu$; 특히 0을 포함하지 않습니다.
[물론,이 예제는 더 친숙한 삼각 측량 범주의 사소하지 않은 Toda 브래킷 / Massey 제품으로 일반화 할 수 있습니다.]
실제로 Toda 브래킷은 자연스러운 변형을 위해 '입방체 채우기'를 방해합니다. $X \to Y$.
어쨌든-이것은 많은 현대적 대안 중 하나를 위해 삼각 분할 범주를 삭제하는 많은 이유 중 하나입니다. $\infty$-범주, 파생어 등).
t- 구조물 등에 관해서는 안정된 땅에서 $\infty$-카테고리는 쉽게 찾을 수 있습니다. (예를 들어,이를 구축하기위한 다양한 트릭에 대해서는 고등 대수 섹션 1.2.1 및 제안 1.4.4.11을 참조하십시오.)
Dylan Wilson의 예는 훌륭합니다. 좀 더 대수적이고 "최종적인"맛을 가진 또 다른 것을 제안하겠습니다.
제 생각에는 가장 간단한 삼각 분할 카테고리는 $\mathcal{T}$ 필드에 대한 유한 차원 벡터 공간의 범주입니다. $k$, 신원 정지 (일명 번역) 펑터 및 $3$-정확한 삼각형으로주기적인 긴 정확한 시퀀스. (이것은 실제로$\mathcal{T}$ 동등성까지.)
허락하다 $C_2$ 순서의 순환 그룹 $2$(단 하나의 개체가있는 범주로 간주 됨). 그런 다음 펑터 카테고리$\mathcal{T}^{C_2}$ 그룹 대수에 대해 유한하게 생성 된 모듈의 범주입니다. $k[C_2]$. 이것은 소위 Auslander 대수학 에 대해 유한하게 생성 된 투영 모듈 의 범주와 동일합니다.$B$ 의 $k[C_2]$. 결과적으로 Freyd, 만약$\mathcal{T}^{C_2}$ 그때 삼각 측량되었습니다 $B$ 자기 주사적일 것입니다.
만약 $k$ 특징이있다 $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ 이중 수의 대수이고 $B$ 의 endomorphism 대수입니다 $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-기준 치수 $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. 이$B$자기 주사가 아닙니다. 사실, 이후$k$ 특징이있다 $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ 반 단순하지 않으므로 $B$ 글로벌 차원이 있습니다 $2$. 만약$B$ 자기 주 사적 이었죠. $0$ 또는 $\infty$.
지난 봄에 폴 발머의 텐서 삼각형 기하학 과정에서 배운 더 간단한 반례가 있다고 생각합니다.
청구 화살표 카테고리$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ 삼각 분류의 $\mathcal{T}$ 결코 어떤 삼각형 구조하지 않는 한이 없습니다$\mathcal{T} = 0$. 사실 우리는$\mathcal{T}$ 여기에서 삼각 측량 할 : if $\mathcal{T}$ 다음과 같은 추가 카테고리입니다. $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ 삼각 측량 된 다음 $\mathcal{T} = 0$.
증거 : 가정$\mathcal{T}$ 다음과 같은 추가 카테고리입니다. $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$삼각 측량입니다. 허락하다$a$ 임의의 대상이된다 $\mathcal{T}$, 정체성 형태 $1_a : a \to a$. 허락하다$t$ 독특한 형태를 나타냄 $a \to 0$. 그때$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} 는 형태를 정의합니다.$\alpha : 1_a \to t$ 에 $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. 참고$\alpha$에피 모피 즘입니다. 모든 삼각 분할 범주에서 모든 에피 모피 즘은 분할되므로$\beta : t \to 1_a$ 갈라지다 $\alpha$ (그건, $\alpha \circ \beta$ 의 정체성 형태입니다 $t$). 그때$\beta$가환도이다 시작 \ {}는 CD @> t >> \\ VV @VVs V F 조 @ 0 \\ @V >> 1_A>을 \ 단부 {CD} 그러한$1_a \circ f = 1_a$ (과 $t \circ s = 1_0$). 이것과 다이어그램의 교환 성으로부터 우리는$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ 통해 요인 $0$. 그러므로,$a = 0$. 이후$a$ 임의적이었습니다. $\mathcal{T} = 0$.
편집 : 물론 우리는 진술을 더 약하게 만들 수 있습니다. $\mathcal{T}$개체가 없습니다. 그러나 만약$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ 삼각 측량 된 다음 $\mathcal{T}$ 추가해야합니다. 왜냐하면 다음의 추가 하위 카테고리로 포함되기 때문입니다. $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ 통하다 $a \mapsto 1_a$.