삼각법이 아닌 증명 : $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Aug 18 2020

이 질문 은 이전에 이미 질문 되었지만 대답은 내가 피하고 싶었던 삼각법과 스튜어트 정리와 관련된 해결책을 제공합니다.

삼각형에서 $\triangle ABC$, 점에서 각도의 이등분 $A$ 교차 $\overline {BC}$ 포인트 $D$. 알다:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.


내 접근 방식 :

허락하다 $c$ circumcircle이다 $\triangle ABC$ 그리고하자 $E$ 선의 교차점 $AD$ 그리고 원 $c$.

우리는 다음을 얻습니다.

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

반면에 :

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

드디어,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

그림:


이것이 유효한지 물어봐도 될까요? 그렇다면 증명을 개선하기 위해 할 수있는 일이 있습니까?

미리 감사드립니다!

답변

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

두 번째 단계 ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$잘 알려진 정리 ( 교차 화음 정리 )이므로 직접 증명하는 대신 참조하는 것이 좋습니다. 그 외에는이 증명은 완벽하게 타당하고 매우 짧기 때문에 어떻게 개선 할 수 있는지 알 수 없습니다.