삼각형 불평등을 보여주는 방법과 그 열린 공이 컴팩트 한 이상일까요?
반지에 $F_p[[X]]$ 필드에 계수가있는 공식 시리즈의 $p$ 메트릭이있는 요소 $$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$ 두 가지 문제가 있습니다
삼각 부등식 표시에 문제가 있습니다. 나는 그것이 어떻게 생겼는지 만 보았습니다.$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$나는 로그를 양쪽에 적용하려고했지만 효과는 없었다. 또한 나는 권력에 대한 어떤 명백한 불평등도 알지 못한다.
이 메트릭과 관련하여 열린 공을 중앙에 표시하는 데 문제가 있습니다. $0$ 모든 양의 반경은 $F_p[[X]]$. 우리의 공은 ($r>0$) $K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.
제 생각에 우리는
ㅏ) $K_{0,r}$ 비어 있지 않고 $\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,
b) 만약 $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ 그때 $\gamma \alpha \in K_{0,r}$,
b) 만약 $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ 그때 $ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.
불행히도 나는이 이상이 간결하다는 것을 증명하는 방법을 모른다.
답변
사실 이것은 울트라 메트릭 공간입니다 .$g,f,h\in F_p[[X]]$, 다음 $d$강한 삼각형 (또는 울트라 메트릭 ) 부등식을 충족합니다 .
$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$
뚜렷한 $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$ 허락하다
$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$
그래서 $d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.
허락하다 $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$, $g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, 및 $h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. 분명히$(1)$ 경우 유지 $f=h$, $h=g$, 또는 $f=g$, 그래서 가정 $f,g$, 및 $h$모두 구별됩니다. 허락하다$k=\delta(f,h)$ 과 $\ell=\delta(h,g)$, 그리고 일반성의 손실없이 $k\le\ell$. 그때$a_n=b_n=c_n$ 각각 $n<k$, 그래서 $\delta(f,g)\ge k$, 따라서
$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$
바라는대로.
에서 이 대답 나는 ultrametric 공간에서 열린 볼도 폐쇄 설정되어 있는지 증명했다. (표시는 OP가 연결된 PDF에서 가져 왔으며 약간 이상합니다.$B(x,r^-)$ 단순히 반경의 열린 공입니다. $r$ 중심에 $x$.) 이 답변에서 나는 원점을 중심으로 한 열린 공을$\Bbb Q_p$컴팩트합니다. 약간의 작업으로 볼에 적용 할 수 있어야합니다.$F_p[[X]]$.
나머지는 열린 공이 $0$ 모든 형식은 다음과 같습니다.
$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$
이것을 사용하여 그것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다 $fg\in B_k$ 할때는 언제나 $g\in B_k$: 만약 $g\in B_k$, 그것은 $X^k$, 따라서 $fg$. 추가로 마감되었는지 확인하는 것도 간단합니다.