삼각형에서 누락 된 각도 찾기
아래 삼각형에서 각도 값을 찾고 있습니다. $φ$.
우리는 주어진다 $α=30, β=18, γ=24$ 그리고 또한 $CD=BD$.
삼각법 (사인 법칙)으로 해결했고 필요한 각도가 78이라는 것을 알았습니다.하지만 기하학으로 만 풀면됩니다.
지금까지 시도한 것 :
우선, 각도는 구성 가능합니다. 즉, 기하학적 솔루션이 있어야합니다. 먼저 삼각형 ABC를 그렸습니다. 2 개의 각도를 알기 때문에 쉽습니다. 우리는 변의 길이에 관심이 없습니다. 그런 다음 AC 측면을 기준으로 24도 각도를 사용하여 점 A에서 광선을 그릴 수 있습니다.
그런 다음 $CD=BD$, 삼각형 DCB는 이등변이므로 D는 우리가 그릴 수있는 CB의 수직 이등분선에 있어야합니다. A의 광선과 수직 이등분선의 교차점은 점 D입니다.
삼각형 FEB에서 우리는
각도 AFD = 108.
삼각형 AFD에서
$ADC+CDE+54+108=180$ 그래서 $ADC+CDE=18$
우리도 가지고있다 $24+ACD+ADC=180$
$ACB=132$
$132+φ+ACD=180$
$18+φ+54+ADC+2CDE=180$
나는 항상 하나의 방정식이 짧습니다.
어떤 아이디어?
기대 해주셔서 감사합니다!
편집하다:
삼각형 ABD의 사인 법칙 :
$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$
삼각형 ACD의 사인 법칙 :
$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$
그래서
$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$
그 후 $φ=78$.
답변
정기적 인 고려 $30$-gon $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ 비행기에 올려 놓고 $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$, 그리고 $X_2$ 과 $C$ 선에 의해 결정된 다른 하프 플레인에 놓임 $AB$. 표시$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$, 및 $X_{15}=R$.
일반 오각형 만들기 $KLOPQ$그림에서와 같이. 우리는 증명할 것입니다$P\equiv C$.
참고 $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. 이후$QK=KL=AK$, 그것은 삼각형 $AKQ$등변입니다. 특히,$AQ=KQ=QP$, 그래서 $Q$ 의 circumcenter입니다 $AKP$. 각도 추적 수율$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$, 그래서 SAS 삼각형 $AQP$ 에 합동 $KLM$, $MNB$, 대칭에 의해 다음과 일치합니다. $MOP$. 연속 각도 추격,$\angle PAQ = 6^\circ$, 그리고 마지막으로 $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.
반면에 $KLM$, $MNB$ 과 $MOP$, 우리는 $MK=MP=MB$, 그래서 $M$ 의 circumcenter입니다 $KPB$ 따라서 $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$, 그 후 $\angle PBM = 36^\circ$ 과 $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.
이후 $\angle BAP = 30^\circ$ 과 $\angle PBA = 18^\circ$, 우리는 $P\equiv C$.
우리는 지금 증명할 것입니다 $R\equiv D$. 우선, 우리는$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. 둘째, 이후$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$, 우리는 $K$, $C$, $R$동일 선상에 있습니다. 이후$M$ 의 circumcenter입니다 $CKB$, 우리는 $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. 우리도 가지고있다$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. 이후$\angle BCR = \angle RBC$, 그것은 다음과 같습니다 $R$ 수직 이등분에 놓여 $CB$와 함께 $\angle CAR = 24^\circ$ 의미 $R\equiv D$. 대답은 다음과 같습니다.$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$
이후 $\angle DAB=54^o$, 일반 오각형을 구성하면 $AD$, 다음 $AB$ 이등분 $\angle DAG=108^o$, 및 $AB$ 확장 $K$ circumcircle에 중심을 통과 $N$.
넓히다 $AC$ ...에 $I$, $DB$ ...에 $L$, 가입 $IK$, $KL$, $LA$, $IL$, 및 $DG$.
순환 사변형 이후 $AIKL$ 직각이 $I$, 그것은 직사각형입니다. 따라서$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$, 및$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$그리고 일반 오각형에서 $\angle ADG=36^o$, 및 OP 메모 $\angle ADE=18^o$, 다음 $\angle LDG=\angle ADC$.
