삼각형의 정수 길이

Aug 20 2020

만약 $a,b,c$ 직각 삼각형의 변의 길이입니다. $a$ 빗변입니다, 그럼 가능합니까 $c$, $b$, $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$모두 정수입니까? 나는 이것을 다른 기하학 문제에서 도출했지만 어떻게해야할지 모르겠습니다.

답변

1 Anand Aug 20 2020 at 21:34

같이 $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$ 정수, 우리는 $a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$ 또는 $a\in\mathbb Z$. 분명히,$b\neq c$ 따라서, $a\in\mathbb Z$. 같이$\triangle ABC$ 정수 변을 가진 직각 삼각형입니다. $$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$일부 $m,n\in\mathbb N$. 허락하다,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$이제 $a(a-c)$$a(a-b)$ 완벽한 사각형입니다. $2(m^2+n^2)$$m^2+n^2$터무니없는 완벽한 제곱으로. 따라서 원래 가설은 거짓입니다.

Piquito Aug 20 2020 at 21:36

COMMENT.-If $a$ 그러면 비이성적이다 $a=a_1\sqrt n$ 그래서 우리는 $\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$ 불가능한 $c$ 양의 정수 ( $c=0$ 그래서 $c$삼각형의 변이 될 수 없습니다). 결과적으로 당신은$(a,b,c)$ 피타고라스 삼각형입니다.

지금 문제를 시도하십시오 $a,b$$c$ 정수.