상관 계수 찾기 $X$ 과 $XY$
허락하다 $X$ 과 $Y$분산이 0이 아닌 독립 확률 변수입니다. 상관 계수를 찾고 있습니다.$\rho$ 의 $Z=XY$ 과 $X$ 평균과 분산 측면에서 $X$ 과 $Y$, 즉 $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$.
( X와 XY 사이의 상관 관계를 포함하여 온라인에서 다른 방법을 검색했습니다 . 그러나 순간을 사용하는 것보다 간단한 계산 방법을 사용할 수 있는지 궁금합니다.)
내가 사용한 단계와 함께 얻은 결과는 다음과 같습니다.
$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$
이것은 X와 XY 사이의 상관 관계 에서 사용 된 모멘트 접근법의 결과와 겉보기에 다른 것 같습니다 . 계산에 오류가 발생한 단계 (있는 경우) 및 어떻게 얻을 수 있습니까?$\rho$ 내가 사용하려는 접근 방식에서?
답변
등식 문자열을 디버깅하는 데 유용한 접근 방식은 한두 가지 예이므로 등식이 유지되는 위치를 확인할 수 있습니다.
제가 생각할 수있는 가장 간단한 예는 $Y$0, 1 또는 -1이 아닌 상수입니다. 그래서$Y=\mu_Y$ 1이 아닌 양의 상수이고 $\sigma^2_Y=0$.
처음 세 개의 평등은 정의를 확장하는 것이므로 네 번째는 처음으로 무언가 잘못 될 수 있습니다. 그리고 그렇습니다. 세 번째 줄의 분자는 다음과 같이 단순화합니다.$\mu_Y\mathrm{var}[X]$. 네 번째 줄의 분자는 그렇지 않습니다. 아니면 내가 이것을 썼을 때 그렇지 않았습니다. 이제 편집되었습니다.
편집 된 버전이이 검사를 통과합니다. 또한 연결된 질문의 세 번째 답변과 일치하며 첫 번째 답변과 일치하므로 옳다고 결론을 내릴 수 있습니다.
작성한 내용은 링크의 표현과 동일합니다. 링크에서 분모에 오타가 있습니다.$\mu_2(Y)^2$ 해야한다 $\mu_1(Y)^2$.
\ begin {eqnarray} \ text {Cor} (X, XY) & = & \ frac {\ mu_2 (X) \ mu_1 (Y)-\ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y)} {\ sqrt {( \ mu_2 (X)-\ mu_1 (X) ^ 2) (\ mu_2 (X) \ mu_2 (Y)-\ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y) ^ 2)}} \\ & = & \ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y-\ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 (E [X ^ 2] E [Y ^ 2]-\ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2) (\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2)-\ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}