상위 도함수와 하위 도함수 찾기 $\overline{D}\mu$ 과 $\underline{D}\mu$.
다음은 내가 올바르게했다고 믿지 않는 Cohn의 측정 이론 의 연습입니다 .
허락하다 $I$ 선분이다 $\mathbb{R}^2$ 포인트를 연결하는 $(0,0)$ 과 $(1,1)$. 유한 Borel 측정 정의$\mu$ 의 위에 $\mathbb{R}^2$ 함으로써 $\mu(A)$ 1 차원 Lebesgue 측정 $A \cap I$. (더 정확하게는$T$ 간격의지도 $[0, \sqrt{2}]$ 위에 $I$ 주어진 $T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$, 정의 $\mu$ 으로 $\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$ 상위 도함수와 하위 도함수 찾기 $\overline{D}\mu$ 과 $\underline{D}\mu$.
먼저 이러한 정의를 적어 보겠습니다. $$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$ 과 $$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$ 어디 $\mathscr{C}$ 퇴화되지 않는 닫힌 사각형의 가족입니다. $\mathbb{R}^2$ (좌표 축에 평행 한면) 및 $e(C)$ 가장자리 길이 $C \in \mathscr{C}$ (그리고 나는 여기에서 $\lambda$ Lebesgue 측정 값은 $\mathbb{R}^2$, Lebesgue 측정 값에 대해 동일한 표기법을 사용 함에도 불구하고 $\mathbb{R}$).
분명히, 만약 $x \notin I$ 그때 $(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$.
만약 $x \in I$ 그런 다음 각각 $C \in \mathscr{C}$ 그런 $x \in C$, 우리는 $$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$ 그래서, 고정 $x \in I$ 그리고 각각 $\epsilon >0$, 우리는 세트를 정의합니다 $E_\epsilon$ 다음과 같이 : $$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$ 이후 $e(C) < \epsilon$, 각각 $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$, 그것은 다음과 같습니다 $$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$ 각각 $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; 이후$e(C)$ 임의로 작게 만들 수 있습니다. $$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$ 따라서 기능 $f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$ 분명히 경향이 $\infty$ 같이 $\epsilon \to 0$. 그래서 (그럴까요?)$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$ 만약 $x \in I$ 과 $(\overline{D}\mu)(x) = 0$ 만약 $x \notin I$... 옳지 않은 것 같습니다.
마찬가지로 함수 $g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$ 아래에서 경계 $1/\epsilon$, 및 $1/\epsilon$ 제한없이 증가 $\epsilon \to 0$. 그러므로,$g(\epsilon) \to \infty$ 같이 $\epsilon \to 0$,뿐만 아니라. 그래서$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$. 다시 말하지만, 이것은 옳지 않은 것 같습니다 ...
답변
당신의 접근 방식이 맞다고 생각합니다. 이 작업을 수행하는 방법은 다음과 같습니다. 자세한 내용은 몇 단계를 건너 뛰겠습니다.
먼저 정의를 확장합니다.
$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
비슷하게,
$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
사례 1 : If $(x,y)\notin I$, 우리는 선택할 수 있습니다 $r>0$ 충분히 작게 $\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$. 그 이유는$I$ 닫혀 있으므로 보완이 열려 있습니다. $\mathbb{R}^2$. 그래서 충분히 작은$r>0$, $$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$ 의미하는 $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$.
사례 2 : If $(x,y)\in I$, 다음 $x=y$. 그것을 가정$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$. 충분히 작은 경우$r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ 선분의 일부 $I$, 길이 $2r$. 따라서,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$ 의미하는 $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$.
사례 3 : 언제 $(x,x)=(0,0)$ 또는 $(1,1)$, 충분히 작은 경우 $r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ 선분의 일부 $I$, 길이 $r$. 따라서,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$
결과는 다음과 같습니다. $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$ 만약 $(x,y)\notin I$ 과 $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$ 만약 $(x,y)\in I$.