상수가 아닌 기능이 있습니까? $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ 그런 $f(x) = f(x + 1/x)$?
Dec 10 2020
상수가 아닌 기능을 찾고 있습니다. $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ 그런 $f(x) = f(x + 1/x)$또는 그러한 기능이 존재하지 않는다는 증거.
교체 $x$ 으로 $1/x$ 우리가 가지고 있어야 함 $f(x) = f(1/x)$.
나는 매끄러운 비 상수 의 (비) 존재에 가장 관심이 있습니다.$f$.
답변
6 TippingOctopus Dec 10 2020 at 07:06
연속 함수마다 하나씩 무한히 많은 연속 솔루션이 있어야합니다. $g:[1,2]\to \mathbb{R}$ 와 $g(1)=g(2)$. 적절한 경계 및 미분 조건을 적용한 후$g$, 우리는 기능을 부드럽게 만들 수 있습니다.
허락하다 $x_1=1$ 과 $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. 그때$1\le x_n\le n$ 고조파 시리즈의 발산에 의해 $x_n\to\infty$ 같이 $n\to \infty$. 이후$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$ 엄격하게 증가하고 있습니다 $[1,\infty)$, 각각 $x\in[1,\infty)$ 정확히 하나에 속한다 $[x_{n+1},x_{n+2})$ 과 $x=h^n(y)$ 정확히 하나 $y\in[1,2)$. 그런 다음 우리는$f(x)=g(y)$. 관계 사용$f(x)=f(1/x)$, 이것은 다음으로 확장됩니다. $(0,\infty)$. 연속적이므로 연속적입니다.$[x_n,x_{n+1}]$ 끝점에서 동의합니다.