사실인가요 $\angle ACK=\angle BCL$ 원 안에?

Question

참고 : 이것은 내가 몇 시간과 며칠 동안 고심하고 포기하기 직전에있는 다음 질문에서 추출한 핵심 문제입니다.

두 각도의 합이 최대 90 도임을 증명

문제 :

원 안에 $MN$ 직경입니다. $\triangle ABC$ 직각 삼각형입니다. $AB\perp MN$ 과 $\angle ACB = 90^{\circ}$. $MA, MB$ 원과 교차 $K, L$. 증명$\angle ACK=\angle BCL$.

내가 시도한 것 :

이 문제는 원래 문제보다 "느슨한"조건을 가지고 있으므로 진술이 사실이라고 보장 할 수 없습니다. $100$퍼센트. 하지만 나는$5$매우 높은 정밀도로 다른 그림을 사용하고 항상 동일한 두 각도를 수동으로 비교했습니다. 이것은이 질문이 원래 문제의 핵심 부분이라고 믿게 만듭니다.

주어진 것에서 내가 말할 수있는 것은 $A,B,L,K$ 주기적이며 나는 며칠을 보냈음에도 불구하고 그 이상으로 가지 않았습니다.

평행선을 그리면 $AC$ 과 $BC$ ...에서 $M$ 원과 교차하면 다음과 같은 삼각형이 생깁니다. $\triangle ABC$ 원의 중심을 통과합니다. 좋지만 전혀 도움이되지 않습니다.

두 각도가 너무 멀어 보입니다. 이 문제를 여러 줄로 풀 수있는 정리가 있다는 느낌이 들지만 그 정리를 모르겠습니다.

더 엄격한 조건 :

조건을 하나 더 포함하면 $KB$ 과 $LA$ 원을 만나다 $P,Q$ 어디 $C$ 줄에있다 $PQ$ 과 $PQ$ 에 수직이다 $MN$이 문제는 원래 문제와 동일합니다. 그러나 나는 이것이 실험적 관찰에 근거한이 특정한 결과에 필요하다고 생각하지 않습니다. (그들은 원래 문제에 필요합니다)

Answer 1

MN과 AB의 교차점을 F로 표시하겠습니다. 삼각형 ACF, BCF 및 ABC는 합동입니다. 각도 추적을 통해 다음을 확인할 수 있습니다.

$BAC=BCN=BCL+LCN=CBM+NMB$

$ABC=ACN=ACK+KCN=CAM+NMA$

당신이 얻는 관계의 측면을 합산하십시오.

$(BCN+ACN=90^o)=CAM+CBM+AMB$

이제 그림에서와 같이 MD || AC 및 ME || BC : $DME=90^o$즉, DE는 원의 지름이고 AB와 평행합니다. 즉 삼각형 DME와 ABC는 이등변이고 점 K와 L은 MN (또는 CN)에 대해 거울입니다. 그 후

$\widehat{ACK}=\widehat{BCL}$

이제이 두 각도를 구성하는 선의 방향은 일정하게 유지되며, 삼각형 MDE가 M을 중심으로 회전하고 기본 DE가 원의 중심을 중심으로 회전하지만 각도 DME의 측정 값은 $90^o$. 즉, 역 절차를 수행하면, 즉 먼저 MN에 대해 대칭 인 삼각형 MDE를 그리면 ABC와 같은 직각 삼각형과 ACK 및 LCB와 같은 동일한 각도가 항상 존재할 수 있습니다.