세그먼트를 증명하는 방법 $IF=HF+GF$

Question

$AE$ 과 $CD$ 각도 이등분입니다 $\triangle ABC$. $F$ 라인상의 임의의 지점 $DE$. 증명$GF+HF=IF$.

나는 알아 차렸다 $3$순환 사변형. 모든 아이디어. 여기 사진입니다

Answer 1

삼선 좌표 고려 (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) 첫 번째 경우 $F$ 삼각형 안에있다 $ABC$.

$D$ 과 $E$, 각도 이등분의 피트 인 resp. 삼선 좌표.$(1,1,0)$ 과 $(0,1,1)$. 따라서 직선의 삼선 방정식$DE$ is :

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

통역 $(x=FG,y=FH,z=FI)$, 우리는 다음을 얻습니다.

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( 주어진 관계가 아닙니다! )

자, 만약 $F$ 삼각형 안에 있지 않습니다 $ABC$, 다른 경우는 다음과 같습니다.

• 주어진 그림에 묘사 된 경우 ($F$ "바로 밖에" $[DE]$ 측면에 $E$), 삼선 형 좌표 중 하나만, $FG$, 기호 변경을 겪습니다. 따라서 (1)은 다음과 같습니다.

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

하는 금액 주어진 관계 ,이 시간!

주어진 그림의 경우 $F$ 멀리 떨어져 있으면 두 번째 기호 변경이 발생합니다. 이제 부호있는 거리에 대해 $FH$, (2)를 다음으로 변환 :

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

이것은 세 번째 공식입니다.

• 반대로, $F$ 선분 밖에 있음 $[D,E]$ 그러나 측면 $D$, 우리는 변해야합니다 $FI$ (1)에서 반대로, 관계 (3)을 되돌려줍니다.

관계 (0)에 대한 설명 : 우리는 곱셈 상수까지 작업하여 얻었습니다. 우변에 0이있는 관계를 다루기 때문에 이것은 중요하지 않습니다.