셀 수없는 폐쇄 세트의 폐쇄는 내부가 빽빽한가?

Question

허락하다 $\langle A_i\rangle_{i\in I}$, $I$ 셀 수없는, 하위 집합의 모음 $\mathbb{R}^d$ 각각은 (비어 있지 않은) 내부의 폐쇄입니다.

세트의 내부가 $A :=\mathrm{cl}(\bigcup_{i\in I}A_i)$ 밀도가 높다 $A$? 즉,$A$ 내부 폐쇄?

(위에서 폐쇄 $\mathrm{cl}(B)$ 세트의 $B\subset\mathbb{R}^d$ 유클리드 토폴로지를 사용하여 $\mathbb{R}^d$.)

Answer 1

예 이것이 진실입니다. 허락하다$a\in A$, 그래서 시퀀스가 $a_n$ 포인트 $\bigcup A_i$ 그런 $(a_n)$ 구혼 $a$ (같이 $n$무한대로 이동). 각각 이후$A_i$ 내부의 폐쇄입니다. $A_i$ 에 포함되어 있습니다 $A$ 모든 $i$, 우리는 찾을 수 있습니다. $n\in \Bbb{N}$, 요점 $(b_{n,m})_{m=1}^\infty$ 최대 거리 $\frac{1}{m}$ ...에서 $a_n$. 쉽게 알 수 있습니다.$b_{n,n}$ 구혼 $a$ 같이 $n$ 무한대로 이동하므로 $a$ 내부의 폐쇄에 $A$. 다른 포함은 사소한 것이므로$A$ 내부의 폐쇄와 같습니다.