섬유의 차원에 대한 정리의 증명과 관련된 의심.
- $f:X \rightarrow Y$ 각각에 대해 그런 종류의 형태 $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. 그때$\dim X=\dim Y+n$. 이 정리의 증명에서$X$affine open set에 의해 섬유의 치수가 동일한 이유. 설명 해주십시오.
- $f:X \rightarrow Y$ 아핀 품종의 형태가되어 $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ 밀도가 높은 하위 집합 $W$ 의 $Y$. 그때$\dim X= \dim Y+n$. 나는 이것에 대한 증거를 다음과 같이 적 으려고 노력했다.
유도에 의한 증명 $\dim Y$. 언제 증명할 것도 없다$\dim Y=0$. 허락하다$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ 닫힌 하위 품종입니다. $f=(f_{1},...,f_{m})$, 어디 $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
허락하다 $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$ 환원 할 수없는 구성 요소이다 $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
환원 할 수없는 구성 요소가 있습니다. $\widetilde{Y}$ 의 $Y^{'}$ 그런 $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
중히 여기다 $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
섬유가 동일하다고 어떻게 결론을 내릴 수 있습니까? 이 문제를 해결하십시오.
답변
여기서 비 환원성을 가정 해 봅시다.
affine open은 밀도가 높기 때문에 affine open으로 제한하면 광섬유를 완전히 놓치거나 광섬유가 단순히 자체의 또 다른 밀도 하위 집합이됩니다 (따라서 차원이 변경되지 않음). 염두에두고있는 그림을 위해 사소한 투영을 고려하십시오.$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, 여기서 각 광섬유는 $\mathbb{P}^1$. 아핀 개방으로 제한하는 경우$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, 섬유는 $\mathbb{A}^1$ 또는 비어 있습니다 (무한대 이상).
직관적으로 대수지도를 고려하면 $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, 그런 다음 일반적인 최대 이상 $\mathfrak{m}$ 일부 주요 이상에 매핑됩니다 $P$ 체인으로 확장 할 수 있습니다. $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. 그것을주의해라$f^*$ 주입 적이어야합니다 (정답은 아니지만 여기에서 가정 해 보겠습니다). 그러면 최대 이상에는 사슬이 있습니다. $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, 그리고 그 소수의 이미지는 여전히 소수입니다. 그래서 당신은 길이의 긴 사슬을 가지고$\dim(Y)+n$ 에 $\Gamma(X)$. 이것을 완전한 증거로 완성하는 것이 더 쉬운 지 확실하지 않습니다 ...