선형 부분 공간의 측정 값은 0입니다.

Question

정의

허락하다 $A$ 의 일부가되다 $\Bbb R^n$. 우리는 말을$A$ 측정 값이 0입니다. $\Bbb R^n$ 매번 $\epsilon>0$, 덮개가 있습니다 $Q_1,\,Q_2,...$ 의 $A$ 셀 수없이 많은 직사각형으로 $$ \sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\epsilon $$ 이 불평등이 유지된다면, 우리는 종종 직사각형의 총 부피가 $Q_1,Q_2,...$ 보다 작다 $\epsilon$.

정리

허락하다 $A$ 열려있다 $\Bbb R^n$; 허락하다$f:A\rightarrow\Bbb R^n$ 계급의 기능이다 $C^1$. 하위 집합$E$ 의 $A$ 측정 값이 0입니다. $\Bbb R^n$, 다음 세트 $f[E]$ 또한 제로를 측정했습니다 $\Bbb R^n$.

증거 . 기본형보기$18.1$ James Munkres의 "Analysis on Manifolds"텍스트의.

정리

하위 집합 $\Bbb R^m\times\{t_{m+1}\}\times...\times\{t_{m+(n-m)}\}$ 의 $\Bbb R^n$ 측정 값이 0입니다. $\Bbb R^n$.

증거 . 를 참조하십시오 여기 .

정리

선형 부분 공간 $W$ 의 $\Bbb R^n$ 차원이있는 $m<n$ 측정 값이 0입니다.

다행히도 다음과 같은 증거를 정리했지만 몇 가지 결함이 있는지 의심 스럽습니다.

증거 . 우선$W$ 의 부분 공간 $\Bbb R^n$ 차원의 $m<n$ 그때 $$ W\equiv\big<w_1,...,w_m\big> $$ 일부 $w_1,...,w_m\in\Bbb R^m$선형 독립성이 있으므로 이러한 벡터의 선형 조합 집합이 측정 값이 0임을 보여야합니다. 이제$\mathcal E:=\big\{e_1,...,e_n\big\}$ 표준 기반이되고 선형 변환을 정의합니다. $t:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$ 조건을 통해 $$ t(e_i):=\begin{cases}w_i,\,\,\,\text{if}\,\,\,i\le m\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$ 어떠한 것도 $i=1,...,n$ 그래서 $t\big[\Bbb R^n\big]=W$. 그래서 우리는 세트를 확장합니다$\big\{w_1,...,w_m\big\}$ 기초로 $\mathcal W:=\big\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,w_n\big\}$ 그리고 우리는 (선형) 이형성을 고려합니다 $f$ 수업의 $C^1$ 조건을 통해 정의 $$ f(e_i):=w_i $$ 모든 $i=1,...,n$. 그래서 만약$f[W]$ 측정 값이 0이면 $W$측정 값도 0입니다. 그래서 이후$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$ 정리가 유지됩니다.

내 증명이 맞습니까? 그럼 안타깝게도 증명할 수 없습니다$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$. 누군가 나를 도울 수 있습니까?

Answer 1

정리의 표기법을 사용하여 $A = \mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^n$ 그래서 $A$ 열려 있고 우리는 diffeomorphism을 검색합니다. $A$ 그래서 $\mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ 매핑됩니다 $W$ 일반성을 잃지 않고 가정합니다. $\dim(W) = m$. 이후$W$ 의 부분 공간 $\mathbb{R}^n$ 그런 다음 우리는 $W$ 이 벡터에 레이블을 지정하십시오. $\{w_1, \ldots w_m\}$. 우리는 또한 추가를 찾을 수 있습니다$n-m$ 그런 벡터 $\{w_1, \ldots w_m, w_{m+1}, \ldots w_{n}\}$ 의 기초입니다 $\mathbb{R}^n$. 허락하다$\{e_1,\ldots e_n\}$ 표준 기반이되다 $\mathbb{R}^n$. 다음에 의해 정의 된 선형 변환을 고려하십시오.$$ f(e_i) = w_i$$ 그때 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 선형 bijection이므로 $C^1$. 그것을주의해라$E = span\{e_1\ldots e_m\} = \mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ 그리고 그 $$f(E) = span\{f(e_1),\ldots f(e_m)\} = span\{w_1,\ldots w_m\} = W $$

Answer 2

정확히 답은 아니지만 댓글에 맞지 않습니다.

일반적인 결과의 결과입니다. $p:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 다항식이면 $p=0$또는 거의 모든 곳에서 0이 아닙니다. 여기에 간결한 증거가 있습니다 .

만약 $W$ 적절한 부분 공간 $\mathbb{R}^n$, 일부 초평면이 포함됩니다. $H$ 그리고 우리는 쓸 수 있습니다 $H= \{ x | \phi(x) = \alpha \}$ 어디 $\phi$0이 아닌 선형 함수입니다. 다항식 이후$p(x)=\phi(x)-\alpha$ 0이 아닌 다항식입니다. $x_1,..,x_n$ 우리는 그것을 본다 $H$ 측정 값이 0입니다.